gerade duch n punkte

hallo, ich suche ein verfahren mit dem ich durch N Punkte eine gerade mit dem kleinsten Fehler legen kann ??
( da war doch mal was mit kleinstem mittlerem Fehleruadrat ? , oder Newton oder wer war das ?? )
Danke
Chris

fubar

http://de.wikipedia.org/wiki/Regressionsgerade oder google mal nach Gaußapproximation.

Taurin

Das Problem nennt man auch "Lineares Ausgleichsproblem". Du willst eine Gerade y = ax + b berechnen, aus den Daten (x1, y1), ..., (xn, yn)

Für den Fall N = 2 hast du noch eine eindeutige Lösung, indem du das Gleichungssystem

(1 x1) (a) = (y1)
(1 x2) (b)   (y2)

löst.
Für N > 2 wird daraus:

(1 x1)        (y1)
(....) (a) =  (..)
(1 xn) (b)    (yn)

Das Gleichungssystem ist überbestimmt. Die Gleichung kann man auch schreiben als
Av = b. A ist die (n x 2)-Matrix, v der Vektor (a b)^T und b die rechte Seite. Formen wir um, erhalten wir Av - b = 0. Das können wir immer noch nicht lösen, daher bauen wir uns das Minimierungsproblem ||Av - b|| = min!
[Mit ||.|| meine ich die euklidische Norm. Damit haben wir hier die Methode der kleinesten Fehlerquarate]

Für die Handrechnung (oder im Rechner für übersichtlich kleine N) kann man die sog. Normalengleichung anwenden. Denn das Problem ||Av - b|| = min! ist äquivalent zur Gleichung A^T A v = A^T b, die man lösen kann.

Für große N zur Berechnung mit dem PC helfen die QR-Zerlegung oder Housholder-Transformationen, die bekomm ich aus dem stehgreif aber nicht hingeschrieben.

edit: Hab eben noch mal nach gelesen: Die Gleichung A^T A v = A^T b ist häufig numerisch schlecht konditioniert, d.h. lässt sich im Rechner relativ schlecht lösen, das die berechnete und die wahre Lösung recht weit von einander abweichen können.

Für welches, konkretes Problem willst du denn die Ausgleichrechung druchführen?