Rechnen in Körper, irreduzibles Polynom?

Hallo,

ich versuche mal mein Glück hier,

vielleicht ist einer so schlau und könnte mir dieses Bsp. verdeutlichen:

Ein irreduzibles Polynom f(x) = x^3 + 2x^2 + 1 ε Z3[x]

In diesem Körper berechnen wir das Produkt x^2 * x^2 mod f(x).

Wegen x^2 * x^2 = x^4 = (x^3 + 2x^2 + 1) * (x + 1) + (x^2 + 2x^2 + 2) in Z

gilt

x^2 * x^2 mod f(x) = x^2 + 2x + 2

Jester

Wo genau legt Dein Problem dabei?
Ist der Begriff Körper klar, oder ist unklar, warum das Polynom irreduzibel ist? Oder warum modulo einem irreduziblen Polynom rechnen nen Körper ergibt? Oder isses die Rechnung selbst?

Ansich ist nämlich alles sehr übersichtlich aufgeschrieben.

MfG Jester

Hallo Jester,

dass das Polynom irreduzibel ist, ist klar.

Aber ich verstehe diese Rechnung hier nicht:

.....................

gilt

x^2 * x^2 mod f(x) = x^2 + 2x + 2

.....................

Oder ich weiß nicht wie man in Körper rechnet, hast du ein Bsp.?
Oder ist das eine multiplikative Gruppe?

Danke für die Hilfe.

Jester

Ein Körper ist nix anderes, als additiv eine Gruppe und, wenn man die 0 wegläßt, dann hat man multiplikativ ne Gruppe. Bekannte Beispiele sind sicherlich Q und R, Z hingegen ist kein Körper, da z.B. 2 multiplikativ kein inverses hat.

an und faktorisierst das maximale Ideal, welches von Deinem Polynom erzeugt wird raus. Die Theorie sagt jetzt: Das Ideal ist maximal, also ist das was übrig bleibt ein Körper.

Der Knackpunkt um zu Verstehen was da passiert, ist sich klar zu machen, was Nebenklassen bilden (das Ideal rausfaktorisieren). Nebenklassen bilden heißt: Du bezeichnest ab sofort Dinge als gleich, wenn sie in der selben Nebenklasse liegen. Polynome, die in Deinem Ideal liegen sind für Dich alle 0. Im Prinzip kannst Du natürlich einfach sagen x^2*x2=x^4. Das ist ein Repräsentant des Ergebnisses. Da aber alle vielfachen Deines Polynoms f für Dich ebenfalls 0 sind kannst Du dieses Polynom noch sooft abziehen wie Du willst (es ist ja 0 in diesem Körper). Jetzt suchst Du einen Repräsentanten von möglchst niedrigem Grad, dazu betrachtest Du den Rest von x^4 bei Division durch f.

Die Rechnung besagt: x^4 = f * (x + 1) + (x^3 + 2x^2 + 2)
Das gilt allgemein im Polynomring. In Deinem Körper ist aber f=0, also x^4=x3+2x^2+2.

Beim nebenklassen bilden tust Du also, also sei f=0. Dadurch machst Du formal x zu einer Nullstelle von f. Du hast also dann einen Körper konstruiert, in dem f eine Nullstelle besitzt, obwohl es in Z3 keine hatte. Das ist auch der Grund, warum man diesen ganzen Zirkus überhaupt macht. Falls Nebenklassenbildung noch unklar ist würde ich Dir empfehlen Dir das ganze nochmal bei Gruppen und bei Vektorräumen anzuschauen, weil das dort noch recht übersichtlich ist.

MfG Jester

Danke Jester,
ich werde mir das mal durch den Kopf gehen.

Hallo,
sorry, dass ich nen uralten Thread wiedereröffne, aber ich hab folgendes raus:

x^4 mod (x^3 + 2x^2 + 1) = 2x^3 + x = x^2 + x + 2

Kann das jemand bestätigen????

Jester

Ja, das ist korrekt.