4. Gleichung auflösen

Gleichung auflösen

  • I

    Hallo,
    kann mir bitte jemand sagen, wie man diese Gleichung (bzw. allgemein Gleichungen dieses Typs) auflöst?
    y = x^3 + x - 20 = 0
    Danke.

    PS:
    Lässt sich das Lösungsverfahren für das obige Beispiel (ich setz jetzt also mal ne Antwort von euch voraus) auch auf beliebige Funktionen vierter Potenz übertragen, also auf sowas: y = x^4 + x - 12 = 0?

    0
  • F

    http://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gleichung

    http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

    0
  • L

    Vieleicht auch mit hilfe des Newton Verfahrens, wenns ein Näherungswert auch tut.

    0
  • I

    Das ist ganz schön kompliziert (für mich), was da bei Wikipedia steht. Danke natürlich trotzdem für den link. Ich dachte nur, für z. B. y = x^3 + x - 20 = 0 gäbs was einfaches wie die pq-Formel für quadratische Gleichungen.

    0
  • V

    mal angucken...
    y = x^3 + x - 20 = 0
    x^3+x=20

    naja, x^3+x ist eine ungerade funktion und, was noch viel lustiger ist,
    streng monoton steigend (und damit umkehrbar). sie hat also ne eindeutige
    lösung.

    probieren mit windows-taschenrechner.
    (man braucht sich nur x in die zwischenablage machen und
    dann [^3] [+] [einfügen] [=] klicken, was recht schnell geht.
    f(x)=x^3+x
    f(2)=10
    f(3)=30
    f(2,5)=18,125
    f(2.6)=20,176
    f(2.58)=19,753512
    f(2.59)=19,963979

    so, genau genug, um die funktion ab jetzt als linear anzusehen. so rate
    ich mich ja tot, bis ich 10 dezimalstellen hab. newton? nee, mag keine ableitung.

    f(2.59)=19,963979
    f(2.6)=20,176

    ich nehme ein gewichtetes mittel von 2.59 und 2.60. das gewicht soll mal die
    abweichung des anderen wertes sein. keine anhung, ob das mathematisch
    gerechtfertigt ist, aber ich mag keine geradengleichungen aufsetzen.

    x=(2,59*(20,176-20)+2,6*(20-19,963979))/(20,176-19,963979)
    (sowas läßt sich ideal in den windows-rechner pasten)
    x=2,5916989
    f(x)=19,999889504423070869669
    und nochmal
    f(2.6)=20,176

    x=(2,5916989*(20,176-20)+2,6*(20-19,999889504423070869669))/(20,176-19,999889504423070869669)
    x=2,5917041082917070989357311008162
    f(x)=19,999999663699206156770422561036

    na, einen noch.

    x=(2,5917041082917070989357311008162*(20,176-20)+2,6*(20-19,999999663699206156770422561036))/(20,176-19,999999663699206156770422561036)
    2,5917041241434663953967160566332
    f(x)=
    19,999999998976448915169486556134

    äh, es ist gar nicht mehr ganauer geworden. ist wohl hier schluss mit stellenzahl vom rechner.

    0
  • I

    Hallo Volkard,
    danke für die Antwort.
    Sehe ich das richtig, kann man das als iterative Annäherung an die Lösung bezeichnen?

    0
  • S

    Ja.

    0
  • I

    na dann bleibt mir nichts anderes übrig, als das auch so zu machen. diesen lösungsweg kann ich nämlich, im gegensatz zu den wikipedia-infos, nachvollziehen.
    ich dachte, es gäb ne nicht-iterative lösung (nennt man die dann analytisch?), die auch jemand wie ich nachvollziehen könnte.

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  • B

    naja, es ist halt keine lösung sondern eine annäherung. schöner wäre es natürlich wenn man es mit wurzeln usw. schreiben könnte.
    und das geht nunmal mit der formel aus wikipedia.

    einzige reelle lösung:
    \frac{(90+\sqrt{8103})^{\frac{1}{3}}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{(3(90+\sqrt{8103}))^{\frac{1}{3}}

    edit: mmmh... irgendwie geht das latex nicht.

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  • T

    Die exakte Lösung ist:
    x0=13(270+38103)13−1270+38103x_0 = \frac{1}{3}\left(270 + 3\sqrt{8103}\right)^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{270 + 3\sqrt{8103}}

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