Beweis (2)

[XFame]

Edit: Entschuldigung fuer den Doppelpost, war keine Absicht! Dieser Beweis ist ein Spezialfall von dem anderen, der eigentlich hier rein sollte.
Dieser andere Beweis ist eine Verallgemeinerung von diesem hier.
Wenn ihr also wollt, koennt ihr diesen hier loeschen, muesst es aber nicht ;).

Hi, ich habe hier einen Beweis gefuehrt.
Koenntet ihr den vielleicht ueberpruefen?

Einleitung

Wir fuehren diesen Beweis durch Widerspruch.
Wie wir sehen werden, ist der Beweis nur eine Verallgemeinerung des Irrationalitaetsbeweises der Wurzel von 2 von Euklid.

Beweis

Sei p eine beliebige Primzahl und n, u und v natuerliche Zahlen.
Wir schreiben dann:
\sqrt[n]{p} = \frac{u}{v}
Durch Potenzieren mit n erhalten wir:
$p = \frac{u^n}{v^n}$
Wir sehen, dass $u^n$ ein Vielfaches von p ist:
$p \cdot v^n = u^n$
Daraus folgt, dass auch u ein Vielfaches von p ist,
wir koennen also u auch als $p \cdot m$ mit $m \in \mathbb{N}$ schreiben und erhalten:
\sqrt[n]{p} = \frac{p \cdot m}{v}
Durch erneutes Potenzieren mit n erhalten wir:
$p = \frac{(p \cdot m)^n}{v^n}$
Daraus ergibt sich:
$v^n = \frac{p^n \cdot m^n}{p} = p^{n-1} \cdot m^n$
Also ist $v^n$ ein Vielfaches von p und somit auch v.\\
Wir koennen also auch v darstellen als $p \cdot k$ mit $k \in \mathbb{N}$ und schreiben:
\sqrt[n]{p} = \frac{p \cdot m}{p \cdot k}
Der Bruch laesst sich also durch p kuerzen.
Jetzt gibt es 2 Moeglichkeiten, die zu einem Widerspruch fuehren:
- Wir gehen davon aus, dass $\frac{u}{v}$ schon vollstaendig gekuerzt war.
- Wir koennten den zuletzt erhaltenen Bruch $\frac{m}{k}$ unendlich oft durch p kuerzen, was jedoch mit keinem reell existierenden Bruch moeglich ist.