Beweis (1)

XFame

pumuckl schrieb:

Diese Aussage ist so nicht ganz richtig, da ein Primfaktor, der in u nur einmal vorhanden ist, in a n-mal vorhanden sein könnte.

Zahlen der Form $u^n$ sind nicht "erlaubt".
Somit hat u auch mindestens alle Primteiler von a.

Naja, die Aussage ist nur richtig, wenn der Bruch vollständig gekürzt war, das bringst du aber erst am Ende als Möglichkeit. Das muss jedoch von Anfang an Voraussetzung sein.

XFame

Wieso sollte man das am Anfang sagen?

scrub

der widerspruchsbeweis soll doch zeigen, daß das ergebnis keine rationale zahl sein kann. keine rationale zahl = nicht als gekürzter bruch a/b darstellbar. du hast es also indirekt bereits vorausgesetzt (ganz am anfang der aufgabe).

Jup, so wie unser Kobold es schon gesagt hat, die Aussage gilt für den allgemeinen Bruch nicht.

XFame

Wie, warum nicht?
Gegenbeispiel?

Also du meinst, dass

a * v^n = u^n
=>
u = a * m gilt, wobei m eine natürliche Zahl ist, oder?

Dann setz doch mal
v := 4
u := 12
a := 9
n := 2
und sieh, dass es nicht stimmt. Und es liegt daran, dass der Bruch 12/4 nicht vollständig gekürzt ist. Auf dieser Annahme basiert nämlich deine ganze Beweisführung. Amsonsten denke ich, dass er korrekt ist.

XFame

Ich weise nocheinmal darauf hin dass a keine Zahl sein darf, die die Darstellungsform $x^n$ haben darf.

Edit: Aber danke, dass ihr euch die Zeit dafuer nehmt.

Jester

Nene, a muß schon Primzahl sein, oder zumindest ne Primfaktorzerlegung besitzen, in der jede Primzahl höchstens einmal vorkommt.
Beispiel: a=18.

a teilt 6^2, aber a teilt nicht 6. 6 enthält nämlich nur eine 3 als Faktor, 18 aber zweimal, wenn man jetzt aber 6 potenziert, so kann man sozusagen 3er sammeln. Nur bei ner Primzahl, da kann/muß man nicht sammeln. Und wenn ne Zahl ne Zerlegung in paarweise verschiedene Primzahlen hat, dann kann man die natürlich einzeln rüberschaufeln und dann wieder zusammensetzen.

Tatsache, das offensichtlichste übersieht man immer. Damit ist dein Beweis anscheinend korrekt. Ein kleines Testprogramm hat für 1 >= a, u, v < 2500 und n = 2 auch kein Gegenbeispiel finden können.

Edit: Aber danke, dass ihr euch die Zeit dafuer nehmt.

Eigentlich ist es keine Nettigkeit, ich wollte nur gemein sein und deinen Beweis widerlegen.

edit

XFame

Da hast du (leider) Recht Jester, aber nichtsdestotrotz ist die Wurzel aus 18 eine irrationale Zahl .

Jester

Ja, und das liegt an folgendem:

18 = 9*2, Wurzel aus 9 ist ne natürliche Zahl, wäre Wurzel 18 auch eine, so wäre auch der Quotient zumindest ne Bruchzahl, das ist aber Wurzel 2. Ich denke so ähnlich müßte man es auch für andere Zahlen beweisen können:

a = b^n*k zerlegen, wobei b maximal ist in so einer Zerlegung (k enthält also keine n-Potenzen mehr) unsere Aussage sagt jetzt: besitzt k nur noch einzelne Primfaktoren, so kann auch a keine rationale Wurzel haben.

Für Quadratwurzel haben wir's damit erledigt: Wir ziehen alle Sachen raus, die mehr als einmal vorkommen, dann steht vorne ne Zahl wo die Wurzel geht, hinten eine bei der die Primfaktoren nur noch einfach vorkommen (sonst nochmal rausziehen)... dann halt obiges drauf loslassen.

Damit haben wir: Quadratwurzeln von Nicht-Quadratzahlen sind irrational.
Wie sieht's mit höheren Wurzeln aus?

Wenn eine ganze Zahl keine n-te Potenz einer ganzen Zahl ist, so ist/sind ihre (sämtlichen) n-te(n) Wurzel(n) nicht rational.

Jester

Genau, und wir basteln gerade nen Beweis dafür.

Ist p/q, ggT(p,q)=1, rationale Nullstelle von einem Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, so teilt p das konstante Glied und q den Leitkoeffizienten, wie man leicht sieht.

Das wendet man dann auf X^n - a an und erhält q = +-1.

Jester

Stimmt, sehr schöner Beweis.

Vielleicht etwas ausführlicher:

p/q kann man kürzen, bis p,q teilerfremd sind.

(p/q)^n = a => p^n = a*q^n da p mit p teilfremd ist, muß p wohl 1 teilen, also + oder -1 sein. ohne Einschränkung können wir im Bruch den Nenner aber größer 0 wählen, also: p^n = a. a ist also Potenz.