quaternionen frage

dot

hi!

ich beschäftige mich in letzter zeit ein bisschen mit quaternionen und hab eine grundlegende frage dazu:

die gesamte quaternionsalgebra basiert ja auf den grundlegenden regeln für die multiplikation der komplexen einheiten i, j und k:

i² = j² = k² = ijk = -1

ij = k
ji = -k
jk = i
kj = -i
ik = j
ki = -j

das ist was in jedem mir bekanntem tutorial und buch über quaternionen irgendwo am anfang steht.
leider aber auch nicht mehr.
mich würde interessieren, warum das so ist.
dem alten hamilton ist das ja angeblich beim spazierengehen eingefallen, ich denk aber nicht einfach so ohne dass er sich was dabei gedacht hat oder eine vorstellung dazu hatte.
weis jemand von euch wie er dazu kam, oder soll ich auch spazierengehen gehen!?

ich stells mir vor wie beim kreuzprodukt von zwei vektoren einer orthonormalbasis im R³, das den jeweils dritten ergibt.
da man sich ja die komplexen i, j und k als raumachsen vorstellen kann, ist meine vorstellung vermutlich garnicht so abwegig, aber da quaternionen älter als vektoren sind, kannte man damals ja auch kein kreuzprodukt...

Walli

Vielmehr als eine mathematische Spielerei wird es für Hamilon anfangs nicht gewesen sein nehme ich an. Ist doch bei vielen Sachen so, dass erst viel später der Nutzen erkannt wird.

XFame

Ich wuerde sagen, er definiert das so.
Sein System ist nicht kommutativ usw. .
Ich kenne noch einen Fall wo jemand ein aehnliches System entwarf, jedoch mit 15 "i-Einheiten". Auf diesem Weg ergab sich mehr oder weniger zufaellig der Ladungsbetrag des Positrons, was zu dieser Zeit physikalisch noch nicht nachgewiesen war.

Das Positron wurde also (glaube ich, wenn's icht stimmt, gucke ich nochmal genauer nach ) zuerst theoretisch entdeckt und dann ein paar Jahre spaeter auch nachgewiesen. Beide, der, der es theoretisch bewies und der, der es physikalisch tat, erhielten dafuer den Nobelpreis in Physik.
Irgendwer sagte darauf auch: "Abstrakte Mathematik von heute ist die theoretische Physik von Morgen und die Technik von Uebermorgen."

volkard

jedes jahr werden hunderttausend mathematische sätze veröffentlicht. stand 1980.
und ich nehme mal an, höchstens 100 bringen einen direkten nutzen. die anderen stehen im ragal un warten drauf, berühmt zu werden. und fast alle, die berühmt werden, standen jahrzenhtelang im ragal, bevor jemand bemerkte, daß sie nicht nur in sich toll sind, sondern im zusammenhang mit bestimmten anderesn sachen sogar total toll sind.
sehr fein finde ich den namen "irrationale zahlen". unlogische zahlen. unbrauchbare zahlen. mist eben, der die theorie stört. die griechen wollten weder den mist haben, noch mit ihm operieren. mist, er war da.
in meinem nächsten leben erfinde ich auch mal nen mathematischen begriff, der ins regal kommt (also diplomarbeit oder mehr). hab in diesem keine zeit mehr und hab mich leider zu stark auf die informatik gestürzt.

Nein, es geht daraum eine 4-dim. Divisionsalgebra (mit Eins) über R zu konstruieren. Sowas geht übrigens nur für Dimensionen 1,2,4,8.