mathebuchaufgabe - wachstumsvorgänge

Ranus.net

Hiho
Ich hab hier ein Mathebuch vor mir liegen, aus dem soll ich eine aufgabe (also deren lösung) nächste stunde vortragen - halt auf folie usw.
die frage ist irgendwie mit einem satz zu beantworten und ich weiß net ob ich das erüllt habe was die wollen ... hm :

es geht um die weltbevölkerung - ein experte hat 3 thesen aufgestellt :
1. Die Bevölkerung wächst exponentiell
2. Wenn dieses Wachstum nicht gebremst wird, verdoppelt sich die Bevölkerungszahl etwa alle 25jahre.
3. Die Nahrungsmittelproduktion wächst linear, da das Ackerland begrenzt ist und das pflanzliche wachstum nicht beliebig gesteigert werden kann.

Er sagte deshalb Hungerepedemien voraus ( der experte lebte zwischen 1766 und 1834)

Überprüfen Sie die Aussagen anhand der Daten zur Entwicklung der Weltbevölkerung (Bevölk-zahlen in mlrd) :

Jahr    1900 |  1925 | 1950 | 1975 | 2000
Bevölk. 1,7  |   2,0 |  2,5 |  4,0 |  6,4

okay, öhm toll ich sach jetzt einfach der hatte unrecht es wächst zwar exponentiell an (Funktion 4ten Grades)....
und ja evtl. zuerst + 18%, dann + 25%, dann + 60%, plus + 60% (immer von auf die vorherige zahl bezogen)... und ja evtl. noch das die erste verdoppelung nach etwa 70jahren einsetzt....
ich könnte jetzt noch die funktion ausrechnen und aufschreiben

nja ich glaube ich hab nciht das getroffen was die von mir wollen, was wollen die genau von mir ? danke

edit( codetags

scrub

naja, überprüf doch einfach alle drei aussagen, ob sie wahr oder falsch sind:
wächst die weltbevölkerung exponentiell oder nicht? rechenweg erläutern
hat sich in der vergangenheit die bevölkerungszahl etwa alle 25 jahre verdoppelt oder nicht? rechenweg erläutern
wächst die nahrungsmittelproduktion linear oder nicht? erläutern (an der stelle würde ich ehrlich gesagt ins schleudern kommen)

Ranus.net

scrub schrieb:

naja, überprüf doch einfach alle drei aussagen, ob sie wahr oder falsch sind:
wächst die weltbevölkerung exponentiell oder nicht? rechenweg erläutern

ja tut sie,
linear ist in der ersten differenz gleich :

1,7  - 2,0 - 2,5 - 4,0 - 6,4
     ^     ^     ^     ^
    0,3    0,5  1,5    2,4

usw.also exponential (4ten Grades...)

scrub schrieb:

hat sich in der vergangenheit die bevölkerungszahl etwa alle 25 jahre verdoppelt oder nicht? rechenweg erläutern

nö sieht man doch direkt

1,7  - 2,0 - 2,5 - 4,0 - 6,4
   *1,18  *1,25  *1,6  *1,6

scrub schrieb:

wächst die nahrungsmittelproduktion linear oder nicht? erläutern (an der stelle würde ich ehrlich gesagt ins schleudern kommen)

geht nicht aus den daten hervor

MBCS-CITP

Du kannst eine Expondential-Funktion so beschreiben ueber die Zeit t so beschreiben:

f(t) = f(t₀) exp ((t - t₀)c)

Du hast nun: t₀ ist bekannt: Das Jahr 1900 und f((t₀) ebenfalls (1,7). Damit kannst c fuer einen anderen der angeben Werte ausrechnen:

f (2000) = 6,4

6,4 = 1,7 exp (c (2000 - 1900))

Nun kannst fuer die anderen Werte jeweils t einsetzen 1925, etc. Diese Werte werden nicht genau den Paaren entsprechen. Du kannst nun die die quar. Standardabweichung (RMS) berechnen (y_t bezeichnet hier den gemessenen Wert, :

((Σ(f (t) - y_t)^2)/N)(1/2)

Analog fuehrst die selbe Procedur fuer die annahme, dass es sich um eine liniare Funktion g(t) := c + mt handelt und rechenst ebenfalls RMS. Der bessere Wert zeigt die bessere Annaeherung.

++++++++++

Ein genauerer un aufwendigerer Weg:

Du jeweils an, es handele sich um jenen oder anderen Typ einer Funktion. Du setzt diese Funktion ein und eine Funktion des RMS in Abhaenigkeit der Funktionsparameter. Diese optimierst Du und erhaelst so den optimalen RMS fuer Deine Annahme. Dies wiederholst Du mit einem anderen Funktions-Typ. Wieder erhaelst einen optimale RMS. Der kleinere von beiden zeigt dann den Funktionstyp, der die Messwerte am besten beschreibt.

Jan

Ranus.net schrieb:

usw.also exponential (4ten Grades...)

Was soll das bedeuten? 4.Grad bei einer Exponentialfunktion? Kann es sein, dass du da was verwechselst? Oder hab ich von sowas einfach nur noch nie etwas gehört?
4. Grad kann IMHO nur eine Polynomfunktion haben, aber eine Exponentialfunktion?

scrub

das hab ich mich auch schon gefragt... bin mal auf ne antwort gespannt.

Ranus.net

sorry, hab da was verwechselt glaub ich, hab gedacht bei einer exponentialfunktion bleibt der exponent konstant und verändert sich net nicht (also z.B. quadratische funktion - deshalb kam ich auch auf funktion 4ten grades)....

hm ist das dann exponentiell ?
hab gerade mal nachgeschaut im mathebuch da stehen 2definitionen :
Lineare Funktionen :
wenn die differenz aufeinander folgender werte konstant ist :
(ist klar - 1,2,3,4,5 - differenz immer eins)

exponentialfunktion :
wenn der quotient aufeinder folgender werte konstant ist :
(okay, also verändert sich der exponent schon :), 2^x :
1,2,4,8,16... = quotient immer 2....)

okay, sorry, hab da gerade dann echt was verwechselt

MBCS-CITP

Exponentialfunktion ist vom Typ:

f (x) = a exp (b x)

linerare Funktion:

f (x) = mx + c

- Aber das ist eigentlich Stoff der 10. Klasse oder so.

Ranus.net

MBCS-CITP schrieb:

Exponentialfunktion ist vom Typ:

f (x) = a exp (b x)

linerare Funktion:

f (x) = mx + c

- Aber das ist eigentlich Stoff der 10. Klasse oder so.

yop, aber man kann sich ja mal vertun,... aber hm dann ist die funktion weder linear noch exponentiell^
hab ich ja oben geschrieben :
linear - gleiche differenz ... trifft bei den werten nicht zu
und gleicher quotient trifft bei den werten auch nciht zu ....

hm ?

MBCS-CITP

yop, aber man kann sich ja mal vertun,... aber hm dann ist die funktion weder linear noch exponentiell^
hab ich ja oben geschrieben :
linear - gleiche differenz ... trifft bei den werten nicht zu
und gleicher quotient trifft bei den werten auch nciht zu ....

hm ?

Messwerte verhalten sich nie ganz wie die Theorie - deshalb gibt den RMS (s. o.) um die Genauigkeit dieser Werte zu efassen. Du muesstest halt fuer beide den RMS ausrechnen und sehen, welche der beiden Ansaetze die Messwerte an ehsten beschreibt.

Ranus.net

okay danke,

aber ich hab mich halt gefragt ob sich das bei so wenigen werten lohnt ? ich mein ich seh doch, dass was er gesagt hat (alle 25jahre - verdoppelung) nicht im geringsten drauf zutrifft, die erste verdoppelung setzt nach 60-70 jahren ein und nach 100 jahren hat es sich gerade mal ver 3,7facht und nicht ver16facht !....

und da hören die messwerte schon auf .... also insofern

MBCS-CITP

Das ist bei Statistiken und Messwerten immer ein Problem aus einer kleine Menge von Daten einen eindeutigen Zusammenhang zu konstruieren. Vielleicht ist das ja das Lernziel.

Ranus.net

hab einfach nur gesagt, keine verdoppelung alle 25jahre, keine exponentialfunktion und fertig war das und der mathelehrer meinte sehr gut oO
... bitte ?

hatte die standardabweichunhg noch auf ner2ten folie brauchte die aber nicht mehr

hallo ?

Bashar

Das sieht mir nach einer PISA-Aufgabe aus, jedenfalls kein reines Rechnen, eher "gesunder Menschenverstand" oder sowas.

Ranus.net schrieb:

es geht um die weltbevölkerung - ein experte hat 3 thesen aufgestellt :
1. Die Bevölkerung wächst exponentiell
2. Wenn dieses Wachstum nicht gebremst wird, verdoppelt sich die Bevölkerungszahl etwa alle 25jahre.

*ungebremst*

Mir fallen zwischen 1900 und 1950 zwei gute Anlässe für solche "Bremsungen" ein. Haben wir überhaupt Daten aus einem "ungebremsten" Zeitraum? Ich glaube nicht, sowas gibts nämlich nicht. Man kann also am Ende nur sagen, dass die Daten die Theorie nicht bestätigen.

Ranus.net

yop ausserdem wird herr malthus (hieß der glaub ich), der in great britan gelebt hat zu siener zeit nur sehr wenig von der welt gesehen haben, geschweige denn zahlen gehabt haben, also wird er sich auf hm gb oder so beschränkt haben und das dann auf die welt übertragen haben ... ausserdem gibts ja noch andere bremsungen ausser die 2, an die du gedacht hast, z.B. max. 1 kind pro familie in china etc...

MBCS-CITP

Das andere Problem sind die Messdaten. Waerend es in Deutschland noch relativ klar ist, dank Einwohnermelderecht, hat z. B. in England die City of Westminister mehr Leute im Waehleregister stehen als potenzielle Wahlberechtigte bei der letzten Volkszaehlung gezaehlt wurden. Also: Entweder war die Volkzaehlung fehlerhaft, oder das Waehleregister stimmt nicht - oder beides!. Nur: Wenn solche Unstimmigkeiten schon in einem zivilisierten Staat Europas passieren koennen, wie sieht das dann in den Slums Kalkuttas, im Koblumbiaschen Buergerkriegsgebieten oder in den Doerfern Chinas aus?

Hinzukommt das Problem mit nur vier Messdaten: Das ist einfach zu ungenau, zu wenig. Es kann sich etwas wie eine Expondentialfunktion verhalten, aber wenn ich nur einen kl. Abschnitt betrachte, bekomme ich mit einer lineraren Funktion schlagartig gute Ergebnisse, fuehre ich die in die Zukunft weiter ... OK