unendlich + 1?
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Ben04 schrieb:
steff3 schrieb:
okay du hast so viel, dass du es nicht mehr zählen kannst
und dann kommt noch ne 1 dazu, würde du das merken?Ok du hast 7000 Flöhe. Jetzt kommt einer hinzu. Würdest du das merken? Nein, jedoch kann deshalb nicht sagen, dass 7000=7001. "Ganz viel" ist nichts weiter als eine bestimmte Zahl. Unendlich ist aber keine Zahl. Du kannst nicht unendlich Flöhe haben oder unendlich Äpfel jedoch sind "ganz viele" Flöhe oder Äpfel durschaus drin. "ganz viele" drückt ganz einfach deine Unfähigkeit (oder Faulheit) aus etwas zu zählen jedoch nicht, dass es unmöglich ist.
7000 ist aber zaehlbar.
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Soll ich euch mal ärgern und sagen, dass es in der Mathematik die "kleinest unendliche Zahl" gibt?
Da sieht man mal mit was sich Mathematiker so den ganzen Tag beschäfftigen.
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2 hoch 64 - 1 kommt schon verdammt nah an unendlich dran.
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Eine Art, wie man Zahlen über Mengen definieren kann, sind die Ordinalzahlen. Diese halten sich aber nicht nur im Bereich der natürlichen Zahlen auf, sondern gehen weit darüber hinaus. Sie bilden sozusagen das Rückgrat des gesamten Mengenuniversums.
Steht aber in jedem Mengenlehrebuch oder vielleicht unter:
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64bit user schrieb:
2 hoch 64 - 1 kommt schon verdammt nah an unendlich dran.
es ist genau neben der 0.
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dooya schrieb:
Hat die Unterscheidung zwischen abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich eigentlich einen -sofern irgendetwas in der Mathematik einen solchen haben kann- praktischen Nutzen, oder ist der Begriff des überabzählbar unendlichen einfach nur der Einführung der reelen Zahlen geschuldet?
einen gewissen sinn hat das schon. so kann man zB die vollständige induktion nur auf abzählbare mengen anwenden, nicht aber auf überabzählbare. das wird in beweisen gerne mal falsch gemacht :p
deshalb sollte man als mathematiker den unterschied schon kennen.
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Konfusius schrieb:
dooya schrieb:
Hat die Unterscheidung zwischen abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich eigentlich einen -sofern irgendetwas in der Mathematik einen solchen haben kann- praktischen Nutzen, oder ist der Begriff des überabzählbar unendlichen einfach nur der Einführung der reelen Zahlen geschuldet?
einen gewissen sinn hat das schon. so kann man zB die vollständige induktion nur auf abzählbare mengen anwenden, nicht aber auf überabzählbare. das wird in beweisen gerne mal falsch gemacht :p
deshalb sollte man als mathematiker den unterschied schon kennen.
Man kann schon auf überabzählbar unendlichen Mengen Induktion anwenden. Das nennt sich dann transfinite Induktion.
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und was ist mit surrealen zahlen?
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dooya schrieb:
Hat die Unterscheidung zwischen abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich eigentlich einen -sofern irgendetwas in der Mathematik einen solchen haben kann- praktischen Nutzen, oder ist der Begriff des überabzählbar unendlichen einfach nur der Einführung der reelen Zahlen geschuldet?
Mal ein Beispiel:
Stell dir mal eine beliebige Programmiersprache P vor. Jedes Programm, dass du in P auf einem Rechner schreibst, steht im Speicher als eine Folge von Bits. Die Menge aller dieser Folgen ist abzählbar unendlich groß.
Schau dir dagegen mal die Menge aller denkbaren Probleme an. Diese Menge ist überabzählbar groß. Ergo: Man kann nicht für jedes Problem ein Programm schreiben, dass das gegeben Problem löst.
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Taurin schrieb:
Mal ein Beispiel:
Stell dir mal eine beliebige Programmiersprache P vor. Jedes Programm, dass du in P auf einem Rechner schreibst, steht im Speicher als eine Folge von Bits. Die Menge aller dieser Folgen ist abzählbar unendlich groß.also hat der rechner nur nen endlichen speicher.
Schau dir dagegen mal die Menge aller denkbaren Probleme an. Diese Menge ist überabzählbar groß. Ergo: Man kann nicht für jedes Problem ein Programm schreiben, dass das gegeben Problem löst.
für beschränkten speicher mußte auch fair sein und nur probleme zulassen, die sich auf beschränktem platz niederschreiben lassen. und die sind abzählbar, oder?
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ich habs mal von meinem mathe lehrer gehört und schreibs einfach mal rein...:
gäbe es eine Zahl "unendlich" und man weiss dass man jede natürliche zahl durch zu jeder beliebiebigen natürlichen zahl gelangen kann, so kann man sagen dass, wenn man um erhöt so eine grössere zahl als Unendlich erhält...
etwas kompliziert geschrieben...
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Taurin schrieb:
[...]
Schau dir dagegen mal die Menge aller denkbaren Probleme an. Diese Menge ist überabzählbar groß. [...]Bist du in diesem Punkt sicher? Ich würde spontan behaupten, dass sich die Menge aller denkbaren Probleme auf N abbilden lässt. Träfe dies zu, würde es sich um eine abzählbar unendliche Menge handeln.
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dooya schrieb:
Taurin schrieb:
[...]
Schau dir dagegen mal die Menge aller denkbaren Probleme an. Diese Menge ist überabzählbar groß. [...]Bist du in diesem Punkt sicher? Ich würde spontan behaupten, dass sich die Menge aller denkbaren Probleme auf N abbilden lässt. Träfe dies zu, würde es sich um eine abzählbar unendliche Menge handeln.
Für jede reelle Zahl x können wir das Problem formulieren:
Finde die Wurzel von x.
Das sind doch schonmal überabzählbar viele Probleme oder?
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volkard schrieb:
für beschränkten speicher mußte auch fair sein und nur probleme zulassen, die sich auf beschränktem platz niederschreiben lassen. und die sind abzählbar, oder?
Wenn dein Rechner mit endlichem Speicher auskommt, hast du wohl recht... ich hab mir von Herrn Turing einen bauen lassen, der hat mehr
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Taurin schrieb:
Wenn dein Rechner mit endlichem Speicher auskommt, hast du wohl recht... ich hab mir von Herrn Turing einen bauen lassen, der hat mehr
ok. und der rechner kann offensichtlich überabzählbar viele verschiedene programme laden.
ich sehe also nicht das problem. bei überabzählbar vielen problemen (zum beispiel alle reellen zahlen) muß man unendlich viel speicher haben und hat auch überabzählbar viele programme parat.
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volkard schrieb:
ok. und der rechner kann offensichtlich überabzählbar viele verschiedene programme laden.
Nö. Wenn wir einen unendlich großen speicher haben, dann können wir beliebig Lange Bitfolgen in unseren Rechner tun. Jede Bitfolge kann man als ein Programm auffassen. Auf der anderen Seite kann man jede Bitfolge als binäre Darstellung einer natürlichen Zahl auffassen (und jede natürliche Zahl als eine Bitfolge). Damit ist die Menge der natürlichen Zahlen genauso mächtig wie die Menge aller Programme auf einem Rechner mit unendlich großem Speicher.
Dir sei es natürlich überlassen, einen Rechner mit überabzählbar unendlichem Speicher zu basteln.
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Ponto schrieb:
dooya schrieb:
Taurin schrieb:
[...]
Schau dir dagegen mal die Menge aller denkbaren Probleme an. Diese Menge ist überabzählbar groß. [...]Bist du in diesem Punkt sicher? Ich würde spontan behaupten, dass sich die Menge aller denkbaren Probleme auf N abbilden lässt. Träfe dies zu, würde es sich um eine abzählbar unendliche Menge handeln.
Für jede reelle Zahl x können wir das Problem formulieren:
Finde die Wurzel von x.
Das sind doch schonmal überabzählbar viele Probleme oder?
Klingt plausibel.
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Taurin schrieb:
volkard schrieb:
ok. und der rechner kann offensichtlich überabzählbar viele verschiedene programme laden.
Nö. Wenn wir einen unendlich großen speicher haben, dann können wir beliebig Lange Bitfolgen in unseren Rechner tun.
mit nur endlichen programmen kann ich nicht jede reelle zahl darstellen. wenn ich nachher doch nur ein paar reelle zahlen zulasse, endlich viele, dann haben wir keine gute argumentation mehr.
also: ich suche nicht nur endlich lange programme, sondern auch unendlich lange programme. dann lasse ich über die ganzen programme den diagonalbeweis rauschen und erkläre, daß es mehr als abzählbar viele programme git.Jede Bitfolge kann man als ein Programm auffassen. Auf der anderen Seite kann man jede Bitfolge als binäre Darstellung einer natürlichen Zahl auffassen (und jede natürliche Zahl als eine Bitfolge). Damit ist die Menge der natürlichen Zahlen genauso mächtig wie die Menge aller Programme auf einem Rechner mit unendlich großem Speicher.
bei beliebig großem, aber endlichem speicher, kriegste unendlich (abzählbar) viele programme. bei unendlich (abzählbar) viel speicher kriegste überabzählbar viele programme. zweihindertsechsundfünzig hoch aleph_0 == aleph_1 oder wie war das?
Dir sei es natürlich überlassen, einen Rechner mit überabzählbar unendlichem Speicher zu basteln.
ok, ich nehme die reellen zahlen als speicheradressen und schreibe an jede adresse ein byte. uih, jetzt hab ich ein problem. adressen haben keine nachfolger. ach, ich sag einfach, daß der prozessor nach adresse x die adresse x*x-2 ausführt, es sei denn, ein sprungbefehl sagt was anderes. wenn ich den programmiere, wird mir schwindlig.
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sandmaster schrieb:
gäbe es eine Zahl "unendlich" und man weiss dass man jede natürliche zahl durch zu jeder beliebiebigen natürlichen zahl gelangen kann, so kann man sagen dass, wenn man um erhöt so eine grössere zahl als Unendlich erhält...
Na, da haben wir es doch. An der Stelle hätte man den "Beweis" schon abbrechen können.
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volkard schrieb:
dann lasse ich über die ganzen programme den diagonalbeweis rauschen und erkläre, daß es mehr als abzählbar viele programme git.
Welchen Diagonalbeweis? Ich kenn nur das Diagonalverfahren von Cantor, das abzählbarkeit nachweist.
volkard schrieb:
bei beliebig großem, aber endlichem speicher, kriegste unendlich (abzählbar) viele programme. bei unendlich (abzählbar) viel speicher kriegste überabzählbar viele programme.
Ok, dann haben wir an einander vorbei geredet. Dann sind wir uns ja doch einig.
ok, ich nehme die reellen zahlen als speicheradressen und schreibe an jede adresse ein byte. uih, jetzt hab ich ein problem. adressen haben keine nachfolger. ach, ich sag einfach, daß der prozessor nach adresse x die adresse x*x-2 ausführt, es sei denn, ein sprungbefehl sagt was anderes. wenn ich den programmiere, wird mir schwindlig.
Mir auch
