unendlich + 1?

[volkard]

Taurin schrieb:

volkard schrieb:

ok. und der rechner kann offensichtlich überabzählbar viele verschiedene programme laden.

Nö. Wenn wir einen unendlich großen speicher haben, dann können wir beliebig Lange Bitfolgen in unseren Rechner tun.

mit nur endlichen programmen kann ich nicht jede reelle zahl darstellen. wenn ich nachher doch nur ein paar reelle zahlen zulasse, endlich viele, dann haben wir keine gute argumentation mehr.
also: ich suche nicht nur endlich lange programme, sondern auch unendlich lange programme. dann lasse ich über die ganzen programme den diagonalbeweis rauschen und erkläre, daß es mehr als abzählbar viele programme git.

Jede Bitfolge kann man als ein Programm auffassen. Auf der anderen Seite kann man jede Bitfolge als binäre Darstellung einer natürlichen Zahl auffassen (und jede natürliche Zahl als eine Bitfolge). Damit ist die Menge der natürlichen Zahlen genauso mächtig wie die Menge aller Programme auf einem Rechner mit unendlich großem Speicher.

bei beliebig großem, aber endlichem speicher, kriegste unendlich (abzählbar) viele programme. bei unendlich (abzählbar) viel speicher kriegste überabzählbar viele programme. zweihindertsechsundfünzig hoch aleph_0 == aleph_1 oder wie war das?

Dir sei es natürlich überlassen, einen Rechner mit überabzählbar unendlichem Speicher zu basteln.

ok, ich nehme die reellen zahlen als speicheradressen und schreibe an jede adresse ein byte. uih, jetzt hab ich ein problem. adressen haben keine nachfolger. ach, ich sag einfach, daß der prozessor nach adresse x die adresse x*x-2 ausführt, es sei denn, ein sprungbefehl sagt was anderes. wenn ich den programmiere, wird mir schwindlig.

[Walli]

sandmaster schrieb:

gäbe es eine Zahl "unendlich" $L$ und man weiss dass man jede natürliche zahl durch $x=x+1$ zu jeder beliebiebigen natürlichen zahl gelangen kann, so kann man sagen dass, wenn man $L$um $1$ erhöt so eine grössere zahl als Unendlich erhält...

Na, da haben wir es doch. An der Stelle hätte man den "Beweis" schon abbrechen können.

[Taurin]

volkard schrieb:

dann lasse ich über die ganzen programme den diagonalbeweis rauschen und erkläre, daß es mehr als abzählbar viele programme git.

Welchen Diagonalbeweis? Ich kenn nur das Diagonalverfahren von Cantor, das abzählbarkeit nachweist.

volkard schrieb:

bei beliebig großem, aber endlichem speicher, kriegste unendlich (abzählbar) viele programme. bei unendlich (abzählbar) viel speicher kriegste überabzählbar viele programme.

Ok, dann haben wir an einander vorbei geredet. Dann sind wir uns ja doch einig.

ok, ich nehme die reellen zahlen als speicheradressen und schreibe an jede adresse ein byte. uih, jetzt hab ich ein problem. adressen haben keine nachfolger. ach, ich sag einfach, daß der prozessor nach adresse x die adresse x*x-2 ausführt, es sei denn, ein sprungbefehl sagt was anderes. wenn ich den programmiere, wird mir schwindlig.

Mir auch

[Walli]

Taurin schrieb:

volkard schrieb:

dann lasse ich über die ganzen programme den diagonalbeweis rauschen und erkläre, daß es mehr als abzählbar viele programme git.

Welchen Diagonalbeweis? Ich kenn nur das Diagonalverfahren von Cantor, das abzählbarkeit nachweist.

Es gibt noch einen Widerspruchsbeweis von Cantor mit dem man die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen nachweisen kann.

EDIT: http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_Diagonalargument

[Taurin]

Walli schrieb:

Es gibt noch einen Widerspruchsbeweis von Cantor mit dem man die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen nachweisen kann.

EDIT: http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_Diagonalargument

Danke. Schau ich mir nachher mal an.

edit: Ok, das Verfahren kannte ich, aber nicht den Namen

[Stefan311]

Ich weiß nicht ob richtig ist aber oo+1 bleibt oo.Und oo-1+1 ist das gleiche(irgendwo auf denn ersten seiten dieses Beitrags).und oo ist eine zahl
die einfach nie endet.

Ich hoffe ich hab nichts falsches gesagt.

[!zahl]

Stefan, oo ist keine Zahl.

[aber]

ihr habt den surrealen zahlen gar keine beachtung geschenkt. deshalb stelle ich sie euch kurz vor.

sie sind total einfach und trotzdem urlustig, weil sich mit ihnen zahlen darstellen lassen, die größer sind, als alle reellen zahlen, kleiner sind als jeder reelle bruch und trotzdem größer als null - und damit lässt sich dann sogar rechnen.

das bemerkenswerte, es gibt nur zwei grundregeln (und dann noch schreibvereinfachungen), und die sind rekursiv.

1. eine neue surreale zahl macht man aus zwei mengen aus bereits vorhandenen surrealen zahlen (sprich: die "linke" menge und die "rechte" menge), wobei folgendes gelten muss, um von einer "wohlgeformten" surrealen zahl zu sprechen: für jede surreale zahl X aus der linken liste und jede surreale zahl Y aus der rechten liste muss gelten, dass Y nicht kleiner gleich X ist.

sei
$X$
eine surreale zahl, dann besteht X aus einer linken und einer rechten Menge surrealer zahlen
X\_L\ und\ X\_R\ kurz:\ X = \left{ X\_L | X\_R \right}
(hoffentlich klappt das in latex, bin darin nicht so gut...)
dabei muss gelten
\forall x\in X\_L\ \forall y\in X\_R\ \rightarrow\ y \not{\le} x

das war eins, das war einfach. aber wir wissen ja nicht, was kleiner gleich heißt. das beschreibt uns regel 2. auch die ist rekursiv.

2. eine surreale zahl X ist genau dann kleiner gleich einer surrealen zahl Y, wenn alle surrealen zahlen in der linken Menge von X kleiner gleich Y sind UND wenn X kleiner gleich alle surrealen zahlen aus der rechten Menge von Y ist.
formal:
$X\le Y\ \Longleftrightarrow\ \neg \exists x\ \in\ X\_L$ Y \le x\ \wedge\ \neg \exists x\ \in\ Y\_R x \le X

dass sind die einzigen zwei regeln, die es gibt. und jetzt lasst uns spielen!

welche surreale zahl kennt ihr? keine. das heißt, wir können schon eine machen. ihre linke menge ist eine leere menge, ihre rechte ebenfalls.
x = \left{ \left{\ \right} | \left{\ \right} \right}\ kurz\ x = \left{ | \right}
frage: ist das eine wohlgeformte surreale zahl?
probe:
\forall x\ \in\ \left{\ \right}\ \forall y\ \in\ \left{\ \right}:\ y \not{\le} x
kein element da, das in der bedingung fehl schlagen könnte. {|} ist eine wohlgeformte surreale zahl. namenskonvention: da es unsere erste surreale zahl ist, nennen wir sie 0.

und jetzt zeigen wir, dass {|} <= {|} ist, was toll wäre:

\left{|\right} \le \left{|\right} \ \Longleftrightarrow\ \neg \exists x\ \in\ \left{\\right}:\ \left{|\right} \le x\ \wedge\ \neg \exists x\ \in\ \left{\\right}:\ x \le \left{|\right} [latex] da die mengen jeweils leer sind, ist die aussage wahr: es gibt kein x, das kleiner gleich als {|} ist. damit können wir schon drei neue surreale zahlen machen. [latex] \left{0|\right} \left{|0\right} \left{0|0\right}

wobei die letzt keine wohlgeformte surreale zahl ist:

\forall x\ \in\ \left{\left{|}\right}\ \forall y\ \in\ \left{\left{|}\right}:\ y \not{\le} x \ aber\ \left{|\right} \le \left{|\right}

ist wahr, das haben wir oben bewiesen. also ist {0|0} keine surreale zahl.

auf diese eher umständlichen weisen lässt sich feststellen, dass {0|} größer ist als {|} und {|0} kleiner als {|}. damit lässt sich feststellen, dass {0|} größer ist als {|0} und die beiden zahlen bekommen die namen: {0|} entspricht 1 und {|0} entspricht -1. damit kennen wir auch schon mehr surreale zahlen ({1|0}, {1|}, {1|1}, {0|-1}) usw. wobei nicht alle wohlgeformt sind. auf diese weise erhält man schon fast alle zahlen (mit dem entsprechungen).
dann kann man nachweisen, dass alle natürlichen und sogar alle reellen zahlen übertragbar sind auf surreale zahlen. und das bedeutet auf stufe zwei kann man sowas machen:
x = \left{ 0, 1, 2, 3, 4, ... | \right}\ bzw. x = \left{ R | \right}
und damit per definitionen eine surreale zahl geschaffen, die größer ist, als alle reellen zahlen. auch die rechenregeln lassen sich auf surreale zahlen übertragen, so dass man dann zb problemlos sqrt( {R|} ) rechnen kann.
und die infinitesimalen brüche lassen sich so darstellen:
$\epsilon = { 0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ... }$
und kann rechnen e/2, e/5 usw.

DAS nenn ich herumhantieren mit unendlichkeiten.

anwendungsbereich: spieltheorie.

[mathik]

Ein Problem ist äquivalent zu einer Sprache L.
Eine Sprache L ist eine Teilmenge aller Worte eines endlichen Alphabets ∑, also L Teilmenge von ∑*.
Die Menge aller Sprachen ist gleich der Potenzmenge von ∑*, also von p(∑*). Für eine beliebige Menge A gilt bekannterweise, dass A und p(A) nicht gleichmächtig sind, also |A| < |p(A)|. ∑* ist abzälbar unendlich, p(∑*) somit nicht!
Also gibt es überabzählbar unendlich viele Sprachen und damit überabzählbar unendlich viele Probleme.

Gruß mathik

[XFame]

Wenn L eine Teilmenge von der Menge aller Sprachen ist, warum ist dann die Menge der Sprachen nicht gleich Σ*

[SG1]

Weil Σ* _eine_ Sprache ist.

[mathik]

XFame schrieb:

Wenn L eine Teilmenge von der Menge aller Sprachen ist, warum ist dann die Menge der Sprachen nicht gleich Σ*

L ist ein Element aus der Menge aller Sprachen!
Die Menge aller Sprachen ist gleich p(Σ*). Also ist L ein Element aus p(Σ*) und somit eine Teilmenge von Σ*.

Gruß mathik

[Taelan]

Mathematiker sind wahnsinnig

[volkard]

Taelan schrieb:

Mathematiker sind wahnsinnig

wieviel wahnsinnig, das ist hier die frage.
und welche zahlen stellen das gut dar?

[Taelan]

wie wärs mit oo+1

[Jockelx]

imhotep schrieb:

Soll ich euch mal ärgern und sagen, dass es in der Mathematik die "kleinest unendliche Zahl" gibt?
Da sieht man mal mit was sich Mathematiker so den ganzen Tag beschäfftigen.

Mich ärgert höchstens, dass du hier so einen Unsinn erzählst.
Falls du irgendwas über eine 'kleinste unendliche Zahl' gelesen hast,
dann ist das jedenfalls völlig aus dem Zusammenhang gerissen.

Jockel

[surréaliste]

wenn man als "zahl" eine surreale zahl betrachtet, geht das.. eine zahl, die kleiner ist als jede reelle zahl und größer als null.
aber auf mich hört niemand..

[dooya]

mathik schrieb:

Ein Problem ist äquivalent zu einer Sprache L.
Eine Sprache L ist eine Teilmenge aller Worte eines endlichen Alphabets ∑, also L Teilmenge von ∑*.
Die Menge aller Sprachen ist gleich der Potenzmenge von ∑*, also von p(∑*). Für eine beliebige Menge A gilt bekannterweise, dass A und p(A) nicht gleichmächtig sind, also |A| < |p(A)|. ∑ ist abzälbar unendlich, p(∑) somit nicht!**
Also gibt es überabzählbar unendlich viele Sprachen und damit überabzählbar unendlich viele Probleme.

Gruß mathik

Mhh, ich habe da noch eine Verständnisfrage zum fettgesetzten Bereich im Quote. Im Prinzip steht dort ja, dass aus |X| < |Y| und |X| = abzählbar unendlich folgern kann, dass |Y| überabzählbar unendlich ist.

Als ich das gelesen habe, musste ich spontan an Primzahlen denken, die ja eine echte Teilmenge der natürlichen sind, also |Primzahlen| < |N|. Ich habe aber mal irgendwo gelesen, dass Euklid zeigen konnte, dass die Anzahl der Primzahlen unendlich ist. Nach der Logik im obigen Quote müsste man nun folgern, dass es überabzählbar viele natürliche Zahlen gibt, was aber wohl nicht zutrifft.

Das passt doch so nicht zusammen, oder?

[Jockelx]

surréaliste schrieb:

wenn man als "zahl" eine surreale zahl betrachtet, geht das.. eine zahl, die kleiner ist als jede reelle zahl und größer als null.
aber auf mich hört niemand..

Ich hab noch nie was von diesen surreale zahlen gehört. Ich werde mich
aber damit beschäftigen, wenn du mir folgendes beantwortest:

r sei jetzt diese ominöse kleinste reelle Zahl grösser 0.
Wieso ist jetzt r/2 <= 0 oder r/2 >= r ?

Jockel

[Bashar]

Jockelx schrieb:

r sei jetzt diese ominöse kleinste reelle Zahl grösser 0.
Wieso ist jetzt r/2 <= 0 oder r/2 >= r ?

Wenn du nochmal genau nachliest, wirst du feststellen, dass die Existenz von r nicht behauptet wurde.