unendlich + 1?
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wenn man als "zahl" eine surreale zahl betrachtet, geht das.. eine zahl, die kleiner ist als jede reelle zahl und größer als null.
aber auf mich hört niemand..
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mathik schrieb:
Ein Problem ist äquivalent zu einer Sprache L.
Eine Sprache L ist eine Teilmenge aller Worte eines endlichen Alphabets ∑, also L Teilmenge von ∑*.
Die Menge aller Sprachen ist gleich der Potenzmenge von ∑*, also von p(∑*). Für eine beliebige Menge A gilt bekannterweise, dass A und p(A) nicht gleichmächtig sind, also |A| < |p(A)|. ∑ ist abzälbar unendlich, p(∑) somit nicht!**
Also gibt es überabzählbar unendlich viele Sprachen und damit überabzählbar unendlich viele Probleme.Gruß mathik
Mhh, ich habe da noch eine Verständnisfrage zum fettgesetzten Bereich im Quote. Im Prinzip steht dort ja, dass aus |X| < |Y| und |X| = abzählbar unendlich folgern kann, dass |Y| überabzählbar unendlich ist.
Als ich das gelesen habe, musste ich spontan an Primzahlen denken, die ja eine echte Teilmenge der natürlichen sind, also |Primzahlen| < |N|. Ich habe aber mal irgendwo gelesen, dass Euklid zeigen konnte, dass die Anzahl der Primzahlen unendlich ist. Nach der Logik im obigen Quote müsste man nun folgern, dass es überabzählbar viele natürliche Zahlen gibt, was aber wohl nicht zutrifft.
Das passt doch so nicht zusammen, oder?
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surréaliste schrieb:
wenn man als "zahl" eine surreale zahl betrachtet, geht das.. eine zahl, die kleiner ist als jede reelle zahl und größer als null.
aber auf mich hört niemand..Ich hab noch nie was von diesen surreale zahlen gehört. Ich werde mich
aber damit beschäftigen, wenn du mir folgendes beantwortest:r sei jetzt diese ominöse kleinste reelle Zahl grösser 0.
Wieso ist jetzt r/2 <= 0 oder r/2 >= r ?Jockel
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Jockelx schrieb:
r sei jetzt diese ominöse kleinste reelle Zahl grösser 0.
Wieso ist jetzt r/2 <= 0 oder r/2 >= r ?Wenn du nochmal genau nachliest, wirst du feststellen, dass die Existenz von r nicht behauptet wurde.
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Nichtstandard-Analysis
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Okay, ich will hier auch nicht über Sachen diskutieren, mit denen
ich mich nicht beschäftigt habe.
Beschäftig habe ich mich aber mit 'normalen Zahlen' und von denen weiss
ich, dass man Q z.B. über den Dedekindschen Schnitt zu R erweitern kann
und das eine Erweiterung von R so nicht möglich ist.Deshalb scheinen mir die surrealen Zahlen auf keinem festen Fundament zu stehen.
Aber wie gesagt, hab mich da nie mit beschäftigt und werde ich auch wohl nicht machen.Jockel
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dooya schrieb:
mathik schrieb:
Ein Problem ist äquivalent zu einer Sprache L.
Eine Sprache L ist eine Teilmenge aller Worte eines endlichen Alphabets ∑, also L Teilmenge von ∑*.
Die Menge aller Sprachen ist gleich der Potenzmenge von ∑*, also von p(∑*). Für eine beliebige Menge A gilt bekannterweise, dass A und p(A) nicht gleichmächtig sind, also |A| < |p(A)|. ∑ ist abzälbar unendlich, p(∑) somit nicht!**
Also gibt es überabzählbar unendlich viele Sprachen und damit überabzählbar unendlich viele Probleme.Gruß mathik
Mhh, ich habe da noch eine Verständnisfrage zum fettgesetzten Bereich im Quote. Im Prinzip steht dort ja, dass aus X < Y und |X| = abzählbar unendlich folgern kann, dass |Y| überabzählbar unendlich ist.
Was meinst Du mit "X < Y"? Wenn Du damit "X hat eine kleinere M"achtigkeit als Y" meinst, dann ja, genau das steht da. Wenn eine Menge mehr als abz"ahlbar viele Elemente hat, hat sie (nach Definition) "uberabz"ahlbar viele Elemente.
Als ich das gelesen habe, musste ich spontan an Primzahlen denken, die ja eine echte Teilmenge der natürlichen sind, also |Primzahlen| < |N|.
Falsch. Echte Teilmengen k"onnen die gleiche M"achtigkeit haben.
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SG1 schrieb:
Falsch. Echte Teilmengen k"onnen die gleiche M"achtigkeit haben.
Abzählbare Obermengen von N sogar per Definition.
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SG1 schrieb:
dooya schrieb:
mathik schrieb:
Ein Problem ist äquivalent zu einer Sprache L.
Eine Sprache L ist eine Teilmenge aller Worte eines endlichen Alphabets ∑, also L Teilmenge von ∑*.
Die Menge aller Sprachen ist gleich der Potenzmenge von ∑*, also von p(∑*). Für eine beliebige Menge A gilt bekannterweise, dass A und p(A) nicht gleichmächtig sind, also |A| < |p(A)|. ∑ ist abzälbar unendlich, p(∑) somit nicht!**
Also gibt es überabzählbar unendlich viele Sprachen und damit überabzählbar unendlich viele Probleme.Gruß mathik
Mhh, ich habe da noch eine Verständnisfrage zum fettgesetzten Bereich im Quote. Im Prinzip steht dort ja, dass aus X < Y und |X| = abzählbar unendlich folgern kann, dass |Y| überabzählbar unendlich ist.
Was meinst Du mit "X < Y"? Wenn Du damit "X hat eine kleinere M"achtigkeit als Y" meinst,
Ja, meinte ich. Habe die '|' vergessen. Ist jetzt editiert.
dann ja, genau das steht da. Wenn eine Menge mehr als abz"ahlbar viele Elemente hat, hat sie (nach Definition) "uberabz"ahlbar viele Elemente.
Als ich das gelesen habe, musste ich spontan an Primzahlen denken, die ja eine echte Teilmenge der natürlichen sind, also |Primzahlen| < |N|.
Falsch. Echte Teilmengen k"onnen die gleiche M"achtigkeit haben.
Das habe ich nicht gewusst, womit auch die Ursache meines Verständnisproblems gefunden sein könnte. Danke.
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Jockelx schrieb:
Okay, ich will hier auch nicht über Sachen diskutieren, mit denen
ich mich nicht beschäftigt habe.
Beschäftig habe ich mich aber mit 'normalen Zahlen' und von denen weiss
ich, dass man Q z.B. über den Dedekindschen Schnitt zu R erweitern kann
und das eine Erweiterung von R so nicht möglich ist.Deshalb scheinen mir die surrealen Zahlen auf keinem festen Fundament zu stehen.
Aber wie gesagt, hab mich da nie mit beschäftigt und werde ich auch wohl nicht machen.Jockel
was bashar wohl meinte ist, dass r in deinem beispiel gar keine reelle zahl mehr ist (sondern eben eine surreale).
ganz vereinfacht gesagt besteht eine surreale zahl aus zwei mengen von (anderen surrealen) zahlen
{ {a,b,c} | {d,e,f} } , wobei gilt, dass alle zahlen auf der linken seite {a,b,c} kleiner gleich alle zahlen auf der rechten seite {d,e,f} sind.
das lustige ist, dass eben nur die zwei sachen, wie eine surreale zahl aufgebaut ist (nämlich aus surrealen zahlen) und was kleiner gleich heißt, definiert sind. alles andere (addition, multiplikation, kleiner als, größer als, ...) muss man erst beweisen.es lässt sich dann feststellen und beweisen, dass es eine funktion d gibt (dali-funktion), die jede ganze zahl in eine surreale zahl konvertiert. das heißt Z (menge der ganzen zahlen) kann komplett in eine menge surrealer zahlen umgewandelt werden. das heißt aber gleichzeitig, das eine surreale zahl als eine ihrer "teil"mengen Z enthalten kann.
w = { Z | } (die andere teilmenge ist leer)
der wert von w bezeichnet also eine zahl, die größer ist, als alle ganzen zahlen. und zu dieser zahl kann man eins dazuzählen, denn dass das mit allen wohlgeformten surrealen zahlen geht, kann man beweisen. (und {Z|} ist wohlgeformt.
w - 1 = { Z -1 | w - 0 } = { Z | w } (also eine zahl größer als jede ganze zahl aber kleiner als die zahl w)
oder
w + w = { w + Z | }alles ist strengstens definiert.
ist auf jedenfall ein interessantes thema.
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dooya schrieb:
Mhh, ich habe da noch eine Verständnisfrage zum fettgesetzten Bereich im Quote. Im Prinzip steht dort ja, dass aus |X| < |Y| und |X| = abzählbar unendlich folgern kann, dass |Y| überabzählbar unendlich ist.
Nein, da steht nicht etwas über beliebige Mengen, X, Y sondern über eine Menge A und ihre Potenzmenge P(A).
Für endliche nichtleere Mengen ist klar, daß P(A) und A nicht gleichmächtig sind. P(A) hat schließlich vielmehr Elemente. Im unendlichen ist das ebenfalls wahr (man findet keine Bijektion zwischen A und P(A)), aber das ist wesentlich schwieriger zu beweisen.