Bestimmung von Extremwerten

Hallo,
ich habe ein kleines Mathe-Anfänger-Obern00b-Problem, bei dem ihr mir sicherlich helfen könnt.

Es geht darum, den Extremwert eines Terms zu bestimmen.
In meinem Buch steht dazu folgendes:
------
Extremwerte
Terme der Form a(x-m)² + n besitzen
ein Minimum n für a > 0 und
ein Maximum n für a < 0

Man schreibt:
Tmin = n für x = m
bzw.
Tmax = n für x = m
-----

Könnte mir das bitte jemand anhand der folgenden Terme erklären?
-x²+5
3-2(x-8)²
(x+3)² - 7
(x-2)² + 5

Für euch ist das sicherlich kein Problem, aber ich verstehe es halt einfach nicht

please help!

gurru

ganz einfach: Die allgemeine Formel für eine Parabel lautet a(x-b)+c = y

a ist der Streckfaktor. 0: Gerade für c = 0, sonst keine Lösung
negativ: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
positiv: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

b ist die Verschiebung nach rechts vom Scheitelpunkt.

Daraus folgt z.B: -x^2 +5 hat ein Maximum an der Stelle (0, 5)

XFame

gurru schrieb:

b ist die Verschiebung nach rechts vom Scheitelpunkt.

Die Parabel wird um -m verschoben.

gurru schrieb:

Daraus folgt z.B: -x^2 + 5 hat ein Maximum an der Stelle (0, 5)

Wenn du sagst, die Funktion -x^2 hat ein Maximum an einer Stelle, musst du auch eine Stelle angeben und keinen Punkt .

Folglich hat die Funktion f(x) = -x^2 + 5 an der Stelle x = 0 ein Maximum.

gurru

XFame schrieb:

gurru schrieb:

b ist die Verschiebung nach rechts vom Scheitelpunkt.

Die Parabel wird um -m verschoben.

Die Parabel wird um b nach rechts entlang der x-Achse verschoben. Und um m entlang der y-Achse

XFame schrieb:

gurru schrieb:

Daraus folgt z.B: -x^2 + 5 hat ein Maximum an der Stelle (0, 5)

Wenn du sagst, die Funktion -x^2 hat ein Maximum an einer Stelle, musst du auch eine Stelle angeben und keinen Punkt .

Folglich hat die Funktion f(x) = -x^2 + 5 an der Stelle x = 0 ein Maximum.

Nagut, dann halt eben: Dif Funktion y = -x^2 + 5 hat das Maximum ist (0, 5).

gurru schrieb:

XFame schrieb:

gurru schrieb:

b ist die Verschiebung nach rechts vom Scheitelpunkt.

Die Parabel wird um -m verschoben.

Die Parabel wird um b nach rechts entlang der x-Achse verschoben. Und um m entlang der y-Achse

Also bei einer quadratischen Funktion der Form f(x) = a(x+b)^2 +c wird die Funktion um -b nach rechts entlang der X-Achse verschoben.

In seinen Aufgaben war nur m = b, ich weiß nicht so recht, was du, gurru, jetzt mit b und m meinst.

Ich meinte natürlich den Graphen und nicht die Funktion, die um -b verschoben wird .

öhm, ja.

könntet ihr mir vielleicht die geposteten terme mit ausführlicher erklärung auflösen? wäre wirklich verdammt nett von euch, ich verstehe nämlich noch nicht wirklich viel mehr

Panke

Eigentlich ist das ganz einfach. Du musst nur die gegebenen Terme auf die
Scheitelpunktsform bringen, da der Scheitelpunkt ja der Extremwert ist, und dann den Scheitel/Extrempunkt einfach ablesen.
Die Scheitelpunktsform ist die, von dir schon angebenene, Form, nämlich:

y = a(x-b)² + c

Dabei ist
a die Streckung der Parabel (erstmal uninteressant)
b die x-Koordinate des Extrem/Scheitelpunktes und
c die y-Koordinate des Extrem/Scheitelpunktes.

Für deine Beispiele gilt:
y = -x²+5

<=> y = -1(x-0)²-5

Dann ist b gleich 0 und c gleich -5
Der Extrempunkt also bei S(0/-5)

a gibt dir dann an, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist.
Für a<0 ist es ein Maximum und für a>0 ist es ein Minimum.

Panke

Jester

Vielleicht um die grundlegende Idee dahinter nochmal zu beleuchten:

y= a*(x-b)^2 + c

(x-b)^2 ist niemals negativ. Es ist immer >= 0. Ist a jetzt größer 0, so addieren wir immer irgendwas dazu (im kleinsten Falle 0), aber wir ziehen nie was ab. Bei x=b addieren wir am wenigsten. Deswegen ist da das Minimum zu finden.

Wenn a<0 gilt, dann gilt analog: wir ziehen immer ab, nur bei x=b lassen wir es wie es ist, also ist dort ein Maximum zu finden.

vielen dank bis hierhin schonmal

ich glaube jetzt schon langsam es kapiert zu haben, eine frage ist aber noch offen:
dieser term z.b.:
9+4(x-1)^2
ergibt ein Tmin = 0 für x = -1
allerdings ist das -1 wohl falsch, richtig sollte +1 sein, ich weiß aber nicht, wie mein Taschenrechner darauf kommt. ist das vielleicht einfach ne regel, das ich das vorzeichen ändern muss?

volkard

ich empfehle außerdem, da0 du dir viel der funktionen plotten läßt, um ein gefühl dafür zu kriegen, wie sie aussehen.
zum beispiel mit
http://www.mathe-online.at/fplotter/fplotter.html
mußt 9+4*(x-1)^2 statt 9+4(x-1)^2 eingeben und dann erstmal rauszoomen, um die funktion zu finden.

[quote="obern00b"]vielen dank bis hierhin schonmal

ich glaube jetzt schon langsam es kapiert zu haben, eine frage ist aber noch offen:
dieser term z.b.:
9+4(x-1)^2
ergibt ein Tmin = 0 für x = -1
allerdings ist das -1 wohl falsch, richtig sollte +1 sein, ich weiß aber nicht, wie mein Taschenrechner darauf kommt. ist das vielleicht einfach ne regel, das ich das vorzeichen ändern muss?

ja, vorzeichen ändern!
es ist ja im kern nur ein (x-1)^2
das ist 0 bei x==1 (vorzeichen geändert).
und für alle anderen werte größer als 0.
also minimal bei x=0.
das *4 ändert daran nichts. das +9 schiebt nur die ganze funktion nach oben.

volkard

8-Klässler schrieb:

Extremwerte
Terme der Form a(x-m)² + n besitzen
ein Minimum n für a > 0 und
ein Maximum n für a < 0

Man schreibt:
Tmin = n für x = m
bzw.
Tmax = n für x = m

hier ist ja schon das vorzeichen umgedreht worden. das mußte im laufe des gefechts übersehen haben.
also wenn (x-m)^2 steht, ist der extremwert bei x=m.