Integral

Hallo zusammen,

hab hier folgende Aufgabe:

y=f(x) ist punktsymmetrisch zu (0,y0), integrierbar über [-a,a]. Welchen Wert hat
Integral von -a bis a über f(x) dx.

Hab schon rumprobiert und rumüberlegt. Also geometrisch ist ja leicht einsehbar, das Ergebnis ist wohl 2*a*y0 (wenn ich mich nicht täusche). Aber wie kann ich das errechnen? Ich find einfach keinen ordentlichen Ansatz.

Integral von -a bis a f(x)dx= F(a) - F(-a) bringt mich irgendwie nicht weiter, ich weiß nicht, wie verhält sich den F(-a) ? Wenns punktsymmetrisch zum Ursprung wär, könnte man ja sagen F(-a)=-F(-a). Aber das nützt ja nix. Ich hab auch schon überlegt, ne weitere Funktion zu definieren, die eben um y0 verschoben ist, so dass ich diesen zusammenhang nutzen kann. Aber das kann ich dann auch nich so weit auflösen, dass 2*a*y0 rauskommt.

Wär cool wenn Ihr mir helfen könnt!

Gruß, Dirk

$\int \limits_{-a}^{a} f(x) dx = \int \limits_{-a}^0 f(x) dx + \int \limits_0^a dx$

Punktsymmetrie im Punkt $$(a, b)$$

$f(2 a - x) = 2 b - f(x)$ (siehe Wikipedia)
also hier: $f(-x) = 2 y_0 - f(x)$
eingesetzt in meine erste Gleichung:
$\int \limits_{-a}^{a} f(x) dx = \int \limits\_0^a (2 y\_0 - f(x)) dx + \int \limits_0^a dx$
Ich habe leider keine Begründung, weshalb man an dieser Stelle die Integralgrenzen vertauschen darf - würde aber mit der Symmetrie argumentieren.
Zusammenfassen und ausrechnen ergibt
$\int \limits_{-a}^{a} f(x) dx = 2 y_0 a$

Jester

Vielleicht ein bißchen einfacher ist folgender Weg:

f ist Punktsymmetrisch zum Punkt (0,y0), also ist f(x) = g(x) + y0 mit g(x) punktsymmetrisch zu (0,0)

Also:

$\int \limits_{-a}^{a} f(x) dx = \int \limits_{-a}^{a} g(x) dx + \int \limits_{-a}^{a} y_0 dx$

Wegen der Punktsymmetrie zu (0,0) gilt nun:
$\int \limits_{-a}^{a} g(x) dx = 0$

Damit ist der Wert des gesamten Integrals dann 2*a*y0.

MfG Jester

jo danke jester, das hab ich auch kapiert ;).