Beweisführung

[Elmar]

Hallo,

ich habe eine kleine Frage bzgl. math. Beweisführung.

Eigentlich darf man doch bei einem direkten Beweise nicht von dem zu beweisenden Aussgehen, oder?

Aber nun hat unser Dozent folgenden Beweis durchgeführt...

Zu zeigen: n²(n+1) >= (n+1)² , für n >= 4
Beweis: n²(n+1) >= (n+1)² <=> n² >= n+1 <=> n(n-1) >= 1

(Dies war innerhalb eines Induktionsbeweis ein Teilbeweis)

Nun verstehe ich nicht warum dies ein gültiger math. Beweis ist und nicht nur eine äquvivalente Umformung.
Ich dachte aus was falschen könnten man alles folgern.
Dann wäre doch dieses hier analog ein Beweis:

-1=1 => (-1)² = 1² => 1=1 => wahre Aussage

Wo liegt der Unterschied (außer dass zweites Bsp. natürlich falsch ist)

Ich hoffe auf Antwort und danke im voraus.

Elmar

[SG1]

Elmar schrieb:

Beweis: n²(n+1) >= (n+1)² <=> n² >= n+1 <=> n(n-1) >= 1

Lies das mal von rechts nach links. Dadurch, dass das alles "Aquivalenzumformungen sind, ist das kein Problem.

[volkard]

Elmar schrieb:

Eigentlich darf man doch bei einem direkten Beweise nicht von dem zu beweisenden Aussgehen, oder?

nee, darf er nicht.

Beweis: n²(n+1) >= (n+1)² <=> n² >= n+1 <=> n(n-1) >= 1

die <=> da sind auch als <= lesbar.
Beweis:
n(n-1) >= 1
=> //ausmultiplizieren
n²-n>=1
=> //beide seitebn plus n
n² >= n+1
=> //beide seiten mal (n-1)
n²(n+1) >= (n+1)²

-1=1 => (-1)² = 1² => 1=1 => wahre Aussage
Wo liegt der Unterschied (außer dass zweites Bsp. natürlich falsch ist)

probier das mit <=>, wie der dozent es fairerweise gemacht hat.

[XFame_logged_out]

Vergiss auch nicht, dass Quadrieren und Wurzel ziehen keine äquivalenten Umformungen sind.
Du nutzt es aber in deinem Beispiel mit -1 = 1 .

Der Rest wurde ja schon gesagt .

[Elmar]

Danke für Eure Antworten.

Aber bei einem Widerspruchs-Beweis darf man mittels Wurzel und Quadrat eine falsche Aussage herbeiführen, oder?

[volkard]

wid3rspruchsbeweis, wurze, quadrat? was hat denn dad damit zu tun. natürlich darfste auch in normalen beweisen wurzeln ziehen und quadrieren.
nur ist es keine aquivalenzumformung mehr.

das heißt, es steht nicht mehr
a = b <=> a² = b²
sondern
a = b => a² = b²

aber => ist das normale zeichen in beweisen und voll gut und voll erlaubt.
<=> kann man meinetwegen auch bei äquvalenzumformungen schreiben, aber man darf bei äquivalenzumformungen auch => schreiben.
seine von-rechts-lese-variante finde ich störend unhöflich.

[Jester]

Ich finde sie von dem her eigentlich recht gut, daß von dem ausgegangen wird, was gezeigt werden soll. Man liest lauter Äquivalenzen und das letzte ist trivial richtig. Also ist auch das erste wahr.

Würde er die Kette andersrum aufschreiben sähe es so aus, als würde der dann erste Term vom Himmel fallen und alles paßt zufällig zueinander. Wenn ich das beweisen sollte hätte ich es vermutlich auch so auf dem Papier stehen.

[volkard]

Jester schrieb:

Ich finde sie von dem her eigentlich recht gut, daß von dem ausgegangen wird, was gezeigt werden soll. Man liest lauter Äquivalenzen und das letzte ist trivial richtig. Also ist auch das erste wahr.

mhmm. mein normales verlangen beim beweislesen ist, zu prüfen, ob alles korrekt ist.
da hilft mir vor allem, wenn ich möglichst nicht nachdenken muss. ich hasse denken-müssen. ja, ich werde alt, wie in einem anderen thread steht.

n(n-1) >= 1
=> //ausmultiplizieren
n²-n>=1
=> //beide seiten plus n
n² >= n+1
=> //beide seiten mal (n+1)
n²(n+1) >= (n+1)²

wenn ich dann doch mehr nachdenken will und schauen will, wie er evtl drauf kam, lese ich die kette rückwärts.