4. Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

  • C

    Hi Mathefreaks,
    folgende Aufgabe ist zu lösen: Beweisen Sie die Behauptung, dass die Anzahl dn der Diagonalen in einem konvexen n-Eck folgender Gleichung genügt:

    dn= (n²-3n) / 2

    Und zwar mit Hilfe der vollständigen Induktion. Die ich nicht begriffen habe. Mir ist klar, dass ich als erstes eine Zahl finden muss, für die das ganze Wahr ist. Für 3 also Ergebnis 0, für 4 ist´s 2, usw.

    Dann muss ich beweisen, dass das für alle Zahlen gilt. Also für n und für n+1. Aha. Und wie mache ich das? Wie bringe ich (n+1) in der Formel unter? Irgendwie muss ich das doch so einsetzen, dass ich das dann wieder zur Ausgangsformel umformen kann, womit die Gleichheit/Allgemeingültigkeit bewiesen wäre.

    Bitte helft mir!!! 😕

    Tschau
    Danny

    0
  • M

    Wieviele Diagonalen kommen denn hinzu, wenn du eine Ecke mehr hast?

    0
  • J

    Hallo!

    Das ist an sich nicht schwer. Du hast schon richtig erkannt: Du brauchst einen Induktionsanfang, eine Zahl n für die das stimmt. Für n=3 hast Du's ja nachgerechnet und es stimmt. Damit wäre das erledigt.

    Jetzt müssen wir den Induktionsschritt machen. Wir nehmen an, für n Ecken gilt es. Dann überlegen wir uns, wie wir von da auf n+1 Ecken kommen.

    Welche Diagonalen gibt's in sonem (n+1) Eck? Naja, wir nehmen uns einen Punkt, dessen Diagonalen beachten wir mal nicht, dann sind wir im Falle eines n-Ecks. Also gibt uns die Formel die Anzahl der Diagonalen. Wieviele Diagonalen gibt's, die zu dem Punkt führen? Naja, von jedem eine, außer den beiden Nachbarn. Das sind dann also n-2 Stück (von unserem Punkt zu ihm selbst gibt's ja schließlich auch keine).

    Die Summe davon ist nun die Anzahl an Diagonalen. Das mußte jetzt umformen, bis Deine Formel mit n+1 da steht.

    Viel Erfolg
    Jester

    0
  • M

    Jester schrieb:

    Naja, von jedem eine, außer den beiden Nachbarn. Das sind dann also n-2 Stück (von unserem Punkt zu ihm selbst gibt's ja schließlich auch keine).

    Hallo Jester!
    Das müsste aber n-1 sein, da das n ja noch eine Ecke "tiefer" ist.
    MfG
    micha

    0
  • J

    Ich seh grad nicht was Du mir sagen willst...

    ich tue den n+1-ten Punkt dazu. Jetzt gibt's von jedem der Punkte aus eine neue Diagonale, außer: dem Punkt selbst, dem linken Nachbarn, dem rechten Nachbarn. Das sind (n+1)-3 = n-2.

    Oder nicht?
    Hat sich mal jemand die Mühe gemacht die Induktion fertig zu rechnen?

    0
  • D

    ich glaube micha83 hat recht. Es sind wirklich n-1 Diagonalen die hinzukommen.
    Zwar gehen vom neuen Punkt n-2 Diagonalen aus, allerdings gibt es bei der neuen Ecke auch noch eine Diagonalen zwischen alten Punkten.

    Man sieht es ziemlich schnell, wenn man es sich mal aufzeichnet.
    Bei nem 4-Eck hast du ja 2 Diagonalen. Wenn Du jetzt eine Ecke dazu malst (n+1=5 => n=4) hast du 3=n-1 neue Diagonalen.

    Dann kann man auch den Induktionsschritt beweisen:

    d(n+1)=n2−3n2+n−1d(n+1)=\frac{n^2-3n}{2}+n-1

    =n2−n−22=\frac{n^2-n-2}{2}

    =n2+2n+1−3n−32=\frac{n^2+2n+1-3n-3}{2}

    =(n+1)2−3(n+1)2=\frac{(n+1)^2-3(n+1)}{2}

    PS: Wie rückt man in LaTeX Zeilen ein, so dass die Gleichzeichen untereinander stehen??

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  • J

    Dommel schrieb:

    Zwar gehen vom neuen Punkt n-2 Diagonalen aus, allerdings gibt es bei der neuen Ecke auch noch eine Diagonalen zwischen alten Punkten.

    Jo stimmt, da wo der Punkt eingefügt wird werden ja zwei Punkte getrennt und erhalten deswegen auch eine Diagonale.

    MfG Jester

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