Ebene + Ebene + Ebenenschar

Hallo Leute!

Ich habe hier zwei Ebenen und eine Abenenschar:
E1: x1 + x2 + x3 = 1
E2: -x1 + x2 - 2x3 = 4
Ea: 2x1 + ax2 + x3 = 2

Nun soll ich Herausfinden mit welchem a sich die Ebenen in einer Grade schneiden.
Ich habe verucht erst E1 und E2 zu schneiden und die resultierende Schnitgrade mit Ea zu schneiden, aber dabei kommt nur wirres Zeug bei raus.
Wie würdet ihr das machen?

yours
Klausi

curry-king

Sers

ist es richtig, das der Aufpunkt der Schnittgeraden in der Ebene Ea liegen muss?
Wenn ja kannst du diesen Aufpunkt in die gleichung von Ea einsetzen und nach a auflösen!
Ich bekomme für den Aufpunkt (-1,5 | 2,5 | 0) raus! Daraus folgt: Für a==2 schneiden sich die Ebenen in einer Geraden.

michi

Dommel

curry-king schrieb:

Sers

ist es richtig, das der Aufpunkt der Schnittgeraden in der Ebene Ea liegen muss?
Wenn ja kannst du diesen Aufpunkt in die gleichung von Ea einsetzen und nach a auflösen!
Ich bekomme für den Aufpunkt (-1,5 | 2,5 | 0) raus! Daraus folgt: Für a==2 schneiden sich die Ebenen in einer Geraden.

michi

Es müssen aber auch alle anderen Punkte der Geraden in der Ebene liegen. Wahrscheinlich hast du als Richtungsvektor auch (3/-1/-2). Wenn du jetzt einen weiteren Punkt der Geraden nimmst, bekommst du einen anderen Wert für a...

a=4.0

Dommel

Twinkle schrieb:

a=4.0

Das hatte ich raus, als ich das Skalarprodukt vom Normalenvektor der Ebenenschar und dem Richtungsvektor der Geraden null gesetzt hatte.

Aber trotzdem liegt zB der Punkt (3/1/-3) der Geraden nicht in der Ebene...

pumuckl

Also mit a = 4 ist der Kram überhaupt nicht lösbar - aber gut dass ihr das gefunden habt *g*

Zu lösen (um überhaupt einen Schnittpunkt zu finden) sind die Gleichungen:

1x + 1y + 1z = 1
-1x + 1y + -2z = 4
2a + ay + 1z = 2

=> (addiere zweite zur ersten, ziehe dritte von zweimal der ersten ab)

1x + 1y + 1z = 1
2y + -1z = 5
(2-a)y + 1z = 0

=> (addiere zweite zur dritten)

1x + 1y + 1z = 1
2y + -1z = 5
(4-a)y = 5

Bietet eine einzige abhängige Lösung (sonst hätte sich mindestens eine der Gleichungen in Wohlgefallen aufgelöst)

=> y = 5/(4-a) (ist für a = 4 eindeutig NICHT zu lösen...)

=> z = (5a - 10)/(4-a)

=> x = (9 - 6a)/(4-a)

für a = 4 hätte es garkeine Lösung gegeben. Dann wäre die parametrisierte Ebene parallel zu einer der anderen beiden Ebenen gewesen.

Ein Gleichungssystem ist immer dann lösbar, wenn der Rang der Systemmatrix gleich dem Rang der um den Lösungsvektor erweiterten Matrix ist.

x1    x3    x2    | b
------------------------
 1     1    1     | 1
-1    -2    1     | 4
 2     1    a     | 2

 1     1    1     | 1
 0    -1    2     | 5
 0    -1    (a-2) | 0

 1     1    1     | 1
 0    -1    2     | 5
 0     0    (a-4) |-5

Offensichtlich ist der Rang der Matritzen immer gleich außer bei a=4, d.h. bei a=4 gibt es überhaupt keinen Schnittpunkt. Damit sich die Ebenen in einer Gerade schneiden, müsste der Rang der beiden Matritzen 2 werden. Dies ist in obigem Beispiel aber nicht möglich. D.h. Die Ebenen schneiden sich niemals in einer Geraden!