4. Strecke bei ungleichförmiger Beschleunigung

Strecke bei ungleichförmiger Beschleunigung

  • D

    Jan schrieb:

    ds/dt = v
    v hast du, s willst du. Also ist integrieren angesagt.

    Hier reicht summieren, weil sich die Geschwindigkeit ja nur jede $Zeiteinheit sprunghaft ändert.

    Juppy: Prüf deine Abbildung v(n) nochmal, die ist, wenn ich das richtig sehe, immer um eins zu groß (wenn man richtigerweise durch 1-x nicht 1-n dividiert). Dann rechnest Du

    ∑ Zeiteinheit*v(k) mit k=0 ... n. Da darfst Du alle möglichen Tricksereien mit dem Summenausdruck machen und kommst dann vermutlich auf eine halbwegs schöne Form, die kein Summenzeichen oder Integral mehr enthält.

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  • ?

    (wenn man richtigerweise durch 1-x nicht 1-n dividiert)

    Sorry Tippfehler, sollte 1-X sein.

    die ist, wenn ich das richtig sehe, immer um eins zu groß

    habe X^0 nicht beachtet , also so ?

    1 - X^(n+1)
Vn = -------------  -1
        1 - X

    Für mich ist s = v * t.

    S1 = V1 * t => S1 = X^1 * t
    S2 = V2 * t => S2 = X^2 * t
    ......
    Sn = Vn * t => Sn = X^n * t

    Dann ist S = S1+S2+..+Sn

    Das hab ich mir mal in eine Excel-Tabelle gepackt, um mal eine Beispielrechnung zu haben.

    ∑ Zeiteinheit*v(k) mit k=0 ... n. Da darfst Du alle möglichen Tricksereien mit dem Summenausdruck machen und kommst dann vermutlich auf eine halbwegs schöne Form, die kein Summenzeichen oder Integral mehr enthält.

    Also ∑ t*X^k für k=0...n

    Ich komme dann irgendwann auf diese Formel:

    t(1- X^(n+1) 
S = --------------  -1
       1 - X

    Mein Problem ist, das diese Formel mir ein anderes Ergebnis liefert, als die Rechnung
    in der Excel-Tabelle.

    Wo liegt mein Fehler ?

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  • D

    juppy schrieb:

    ∑ Zeiteinheit*v(k) mit k=0 ... n. Da darfst Du alle möglichen Tricksereien mit dem Summenausdruck machen und kommst dann vermutlich auf eine halbwegs schöne Form, die kein Summenzeichen oder Integral mehr enthält.

    Also ∑ t*X^k für k=0...n

    Nein, eben nicht.

    Im k-ten Zeitabschnitt fährst Du die Geschwindigkeit v(k) und der Zeitabschnitt dauert eben genau t Zeiteinheiten, also legst Du in dieser Zeit die Entfernung s(k)=t*v(k) zurück. Dabei ist v(k), wie Du schon richtig berechnet hast, eben (1-x^(n+1))/(1-x) - 1. Um die Gesamtstrecke zu bekommen, summierst Du dann eben alle s(k) auf.

    Ich fange mal an:
    sges(n)=∑k=0ns(k)=∑k=0nt⋅v(k)=t⋅∑k=0n(1−xk+11−x−1)s_{ges}(n) = \sum_{k=0}^n s(k) = \sum_{k=0}^n t \cdot v(k) = t \cdot \sum_{k=0}^n \left( \frac{1-x^{k+1}}{1-x} - 1 \right)

    Das sieht auf den ersten Blick recht wild aus, aber man kann zB die Summe zerlegen und aufsplitten, und dann sollte man eigentlich einen ordentlichen Ausdruck herbekommen. Wenn's nicht klappt, dann frag nochmal nach.

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  • J

    Ich hab's jetzt nur mal kurz überflogen, aber kann es sein, daß Du vergißt die Geschwindigkeiten zu summieren? So wie ich das sehe wird die Geschwindigkeit ja immer größer.

    Du machst momentan: X*t (fahre t Sekunden mit Geschwindikeit X), t*X^2 fahre t Sekunden mit Geschwindigkeit X^2 etc. Aber eigentlich ist die Geschwindigkeit doch dann bei X^2+X.

    edit: zu langsam, aber immerhin auch richtig 🙂

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  • ?

    Daniel E. schrieb:

    Ich fange mal an:
    sges(n)=∑k=0ns(k)=∑k=0nt⋅v(k)=t⋅∑k=0n(1−xk+11−x−1)s_{ges}(n) = \sum_{k=0}^n s(k) = \sum_{k=0}^n t \cdot v(k) = t \cdot \sum_{k=0}^n \left( \frac{1-x^{k+1}}{1-x} - 1 \right)

    Das sieht auf den ersten Blick recht wild aus, aber man kann zB die Summe zerlegen und aufsplitten, und dann sollte man eigentlich einen ordentlichen Ausdruck herbekommen. Wenn's nicht klappt, dann frag nochmal nach.

    Ich hab jetzt verstanden wo mein Fehler lag, aber ich bin leider nicht in der Lage diese Formel zu zerlegen. 😕

    t⋅∑k=0n(1−xk+11−x−1)t \cdot \sum_{k=0}^n \left( \frac{1-x^{k+1}}{1-x} - 1 \right)

    Vielleicht könnte mir dabei noch mal jemand helfen. Danke

    mfg
    juppy

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  • C

    versuch's mal in einzelne Summanden aufzuteilen:

    (1-x^(k+1))/(1-x) - 1 = 1/(1-x) - 1 - x^(k+1)/(1-x)

    (der letzte Term ist eine geometrische Reihe, die beiden ersten Summanden sind konstant)

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  • ?

    Ich raffs nicht. Ist nicht der komplette Term eine geometrische Reihe?

    1/(1-x) - 1 - x^(k+1)/(1-x)

    Mit den ersten beiden Summanden komm ich gar nicht klar

    t \cdot \left( \left( \frac{1-x^{0+1}}{1-x} - 1 \right) \+ \left( \frac{1-x^{1+1}}{1-x} - 1 \right)+ ... + \left( \frac{1-x^{n+1}}{1-x} - 1 \right) \right)

    Wobei ich das immer noch nicht umgestellt bekomme

    mfg

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  • C

    juppy schrieb:

    Ich raffs nicht. Ist nicht der komplette Term eine geometrische Reihe?

    1/(1-x) - 1 - x^(k+1)/(1-x)

    Mit den ersten beiden Summanden komm ich gar nicht klar

    Die ersten beiden Summanden ( 1/(1-x)-1 ) hängen aber nicht von k ab 😉 Damit kannst du sie aus der Summe herausziehen.

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  • D

    juppy schrieb:

    Ich raffs nicht. Ist nicht der komplette Term eine geometrische Reihe?

    1/(1-x) - 1 - x^(k+1)/(1-x)

    Mit den ersten beiden Summanden komm ich gar nicht klar

    t \cdot \left( \left( \frac{1-x^{0+1}}{1-x} - 1 \right) \+ \left( \frac{1-x^{1+1}}{1-x} - 1 \right)+ ... + \left( \frac{1-x^{n+1}}{1-x} - 1 \right) \right)

    Schau dir mal an, wie oft Du 1 abziehst und ob Du das vielleicht irgendwie zusammenfassen kannst. Dann kommt auch noch überall dieser Faktor 1/(1-x) vor. Kann man den vielleicht irgendwie ausklammern? Dann kommt wieder die Sache mit der 1 von oben und dann muß man nur noch überlegen, ob es für x1+x2+x3+...+x(n+1) eine schönere Schreibweise gibt ... fertig.

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  • ?

    Hallo,

    ich kann es drehen und wenden wie ich will, ich komme immer wieder auf den selben Mist:

    t \cdot \left( \left(n \cdot \left( \frac{1} {x-1} -1 \right)\right) \- \left( \frac{1-x^{n+1}}{1-x} - 1 \right)\right)

    Könnte mal jemand den Lösungsweg für die ganz blöden (<- mich) zeigen

    mfg

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  • ?

    t∑k=0n(1−xk+11−x−1)t\sum_{k=0}^n ( \frac{1-x^{k+1}}{1-x}-1)
    =t∑k=0n1−xk+11−x−t∑k=0n1=t\sum_{k=0}^n \frac{1-x^{k+1}}{1-x}-t\sum_{k=0}^n 1
    =t(∑k=0n1−xk+11−x)−t(n+1)=t(\sum_{k=0}^n \frac{1-x^{k+1}}{1-x})-t(n+1)
    =−t(n+1)+t∑k=0n11−x−t∑k=0nxk+11−x=-t(n+1)+t\sum_{k=0}^n \frac{1}{1-x} - t\sum_{k=0}^n \frac{x^{k+1}}{1-x}
    =−t(n+1)+t(n+1)1−x−t1−x∑k=0nxk+1=-t(n+1)+\frac{t(n+1)}{1-x} - \frac{t}{1-x}\sum_{k=0}^n x^{k+1}
    =−t(n+1)+t(n+1)1−x−t1−x(xn+1−1+∑k=0nxk)=-t(n+1)+\frac{t(n+1)}{1-x} - \frac{t}{1-x}\left(x^{n+1}-1+\sum_{k=0}^n x^k\right)
    =−t(n+1)(1−x)+t(n+1)−t(xn+1−1)1−x−t1−x∑k=0nxk=\frac{-t(n+1)(1-x)+t(n+1)-t(x^{n+1}-1)}{1-x} - \frac{t}{1-x}\sum_{k=0}^n x^k
    =−t(n+1)(1−x)+t(n+1)−t(xn+1−1)1−x−t1−x⋅1−xn+11−x=\frac{-t(n+1)(1-x)+t(n+1)-t(x^{n+1}-1)}{1-x} - \frac{t}{1-x}\cdot\frac{1-x^{n+1}}{1-x}
    =t1−x⋅(−(n+1)(1−x)+(n+1)−(xn+1−1)−1−xn+11−x)=\frac{t}{1-x}\cdot\left(-(n+1)(1-x)+(n+1)-(x^{n+1}-1) - \frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)
    =t1−x⋅(x(n+1)−(xn+1−1)−1−xn+11−x)=\frac{t}{1-x}\cdot\left(x(n+1)-(x^{n+1}-1) - \frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)
    =t1−x⋅(x(n+1)+(1−xn+1)−1−xn+11−x)=\frac{t}{1-x}\cdot\left(x(n+1)+(1-x^{n+1}) - \frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)
    =t1−x⋅(x(n+1)+(1−xn+1)(1−11−x))=\frac{t}{1-x}\cdot\left(x(n+1)+(1-x^{n+1})\left(1 -\frac{1}{1-x}\right)\right)
    =t1−x⋅(x(n+1)+(1−xn+1)⋅−x1−x)=\frac{t}{1-x}\cdot\left(x(n+1)+(1-x^{n+1})\cdot\frac{-x}{1-x}\right)
    =tx1−x⋅((n+1)−1−xn+11−x)=\frac{tx}{1-x}\cdot\left((n+1)-\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)

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  • ?

    Vielen Dank

    mfg
    juppy

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