[Mengenlehre] Lösungsansatz gesucht

Hallo,

ich sitze hier gerade an einer Aufgabe, zu der ich absolut keinen Zugang finde. Vielleicht liegt es am Mangel von Kaffee, aber wer weiß das schon.
Habt ihr einen Ansatz hierzu?

Sei M ein nichtleeres Mengensystem und A eine beliebige Menge. Zeigen sie:
$A \setminus \bigcup_{D \in M} = \bigcap_{D \in M}\left(A \setminus D\right)$

Mein Ansatz wäre so was wie:
\lbrace x | x \in A \wedge \left(\exists D \in M: x \in D\right)\rbrace = \lbrace x | \forall D \in M: x \in A \wedge x \nin D\rbrace
Und das dann in irgendeiner obskuren Weise durch eine Wahrheitstabelle belegen.

MfG
overload

Das ist aber kein guter Ansatz.
Gleichheit von Mengen A, B zeigt man eigentlich immer, indem man
zeigt, dass A Teilmenge von B und B Teilmenge von A ist.
Das ist hier auch erfolgsversprechend.

Jockel

CStoll

Am besten du suchtst dir ein Beliebiges Element aus $A \setminus \bigcup_{D \in M}$ und folgerst daraus, daß es auch in $\bigcap_{D \in M}\left(A \setminus D\right)$ liegt:

x el A\∪D
<=> x el A und nicht(x el ∪ D
<=> x el A und nicht(exist x el D)
<=> x el A und forall nicht(x el D)
<=> forall (x el A und nicht(x el D)
<=> forall (x el A\D)
<=> x el A\∩D

Jockelx schrieb:

Gleichheit von Mengen A, B zeigt man eigentlich immer, indem man
zeigt, dass A Teilmenge von B und B Teilmenge von A ist.

Ich kann '<=' nicht lesen. Ausserdem muss die Kette mit 'x el ∩ (A\D)'
enden.

Jockel

Gehts auch so?

$A \setminus \bigcup_{D \in M} = A \cap \bar D\_1 \cap A \cap \bar D\_2 \cap A \cap \bar D\_3 \cap ... = A \cap A \cap A \cap ... \cap \bar D\_1 \cap \bar D\_2 \cap \bar D\_3 \cap ...$
$= A \cap \bar D\_1 \cap \bar D\_2 \cap \bar D\_3 \cap ... = \bigcap\_{D \in M}\left(A \setminus D\right)$

Oder ist das falsch bzw. ungenau?

Das sieht nämlich fast schon zu einfach aus

MfG

Jester

Das Problem dabei ist: Du gehst davon aus, daß die IndexMenge M endlich ist. Sonst kannst Du das so nämlich nicht hinschreiben. Dein Beweis geht also nur für endliche Schnitte durch.

Unendliches vertauschen und/oder umklammern ist nämlich nicht generell erlaubt:

(1 -1) + (1 -1) + ... = 0
1 + (-1 + 1) + (-1 +1) + ... = 1

Da geht es zum Beispiel schief, weil man zwar endlich oft umklammern darf, aber nicht unendlich oft (wie hier passiert).

Und selbst wenn das noch funktioniert (tut es ja im Falle der Mengen, müßte man aber zeigen) zeigst Du es immer noch erst für abzählbare Indexmengen.

Die vorgegebene Aufgabenstellung läßt aber auch überabzählbare Mengen als Indexmengen zu.