Schnittpunkt - variables m

Hallo erstmal...

Ich habe eine etwas "andere" aufgabe zu lösen, was auch nicht unbedingt das problem ist: Wir haben eine Funktion f(x) = x³ + 3*x², udn eine Gerade g(x) die diese Funktion im Punkt -1 / 2 (also P(-1/2) ) schneidet. Nun soll ich untersuchen, inwiefern die Anzahl der Schnittpunkte abhängig von m dieser schneidenden Geraden ist.

Wie man leicht "sieht" ist -1 die Wendestelle dieser Funktion, folglich gibt es genau dann einen SChnittpunkt wenn der Anstieg der Geraden gleich oder kleiner dem einer Tangente an der wendestelle ist. 3 gibt es, wenn der anstieg größer ist. (da die Funktion außer im intervall -2 <= x <= 0 stetig steigt)

Auch den "Wert" zu bestimmen ist nun kein Problem - aber kommen wir zur Frage:

Mir ersscheint die SChlusfolgerung, da es sich bei - 1 um die Wendestelle handelt, zwar logisch, und natürlich auch richtig. Allerdings muss ich leider bezweifeln, das es so mathematisch durchgeht. also: was wäre eure formulierte begründung, oder gäbe es sogar eine Formel/Gleichung an der das aufzuzeigen wäre?

Thx

CStoll

Als mathematische Lösung kann ich nur anbieten - berechne die komplette Gleichung der Geraden g(x)=m*x+n und anschließend deren Schnittpunkte mit der Parabel (g(x)==f(x)).

naja, also m ist ja variabel, kann also nicht berechnet werden...

Den punkt kann ich allerdings schon in die parabelgleichung einsetzen, also
2 = -1 * m + n | umgeformt zu n = 2 + m

Das kann ich wiederum einsetzen in g(x) = -1 * m + 2 + m
und -1 in f(x) = -1 + 3
also: -1 + 3 = -m + 2 + m
wo dann leider m wegfällt... tut mir leid falls ich dich grad falsch verstehe

CStoll

steff4 schrieb:

naja, also m ist ja variabel, kann also nicht berechnet werden...

Dann rechnest du eben mit einem Parameter:

m* -1 + n = 2 -> n = 2+m -> g(x) = m*x + m+2

-> g(x)==f(x): m*x + m+2 == x^3 + 3*x^2 -> x^3 +3*x^2 - m*x - (m+2) == 0

Das mußt du "nur noch" nach x umstellen (Vorschlag: Polynomdivision durch x+1, dann erhältst du eine quadratische Gleichung).

lustig

Vielleicht noch ein kleiner Tipp um herauszufinden, wieviele Lösungen eine quadratische Gleichung hat. Nach der Polynomdivision kommst du ja auf eine Gleichung wie:
ax^2+bx+c=0
Die Lösung ist nun:
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
wenn der Term unter der Wurzel gleich Null ist, hat die Gleichung genau eine Lösung, wenn er kleiner als Null ist gar keine und grösser Null 2 Lösungen. Unter der Wurzel hast du nun nur noch die Variable m, also musst du diesen Term nur noch Null setzen und nach m auflösen.

Hallo nochmal

Die erste Aufgabe habe ich jetzt durch die Überlegungen, bzw Einsetzungen von cStoll lösen können, dennoch auch ein Danke an "lustig".

Nun habe ich aber noch eine weitere Aufgabe zu bearbeiten, bei der ich wiederrum nicht weiterkomme.
Funktion f(x) = 2 / x²
f'(x) = -4/x³

Wir haben nun eine Tangente, die diesen Graphen im Punkte P (u/v) schneidet (u > 0). Des weiteren wird der Graph durch diese Tangente ein weiteres mal geschnitten, und nun ist es meine Aufgabe diesen Schnittpunkt T in abhängigkeit von u anzugeben.

Meine Überlegungen:

f(x) = t(x)
m = f('x)

t(u) = -4/u³ * u + b
-4/u² + b = f(u) = 2/u²

Allerdings bringt mich das alles nicht weiter, um den 2 Schnittpunkt zu bestimmen, und eine weitere Bedingung kann ich doch auch nicht mehr nutzen oder?

lustig

deine Überlegungen sind schon richtig, du musst nur noch etwas weiter machen:

gast98 schrieb:

-4/u² + b = f(u) = 2/u²

daraus kannst du ja die Geradengleichung berechnen:
b=6/u²
g(x)=-4/u³ x + 6/u²

Die Geradengleichung kannst du nun mit deiner Funktion schneiden:
-4/u³ x + 6/u² = 2/x^2

diese Gleichung auflösen und du kannst x durch u ausdrücken. Dann kannst du auch noch y durch u ausdrücken und du kennst den Punkt T in abhängigkeit von u.

Edit: Noch ein kleiner Tip zum auflösen dieser Gleichung: Du weisst, dass eine Lösung x=u sein muss -> Polynomdivision durch (x-u).