Tangente an Graphen durch einen bestimmten Punkt

Hallo!

Die Funktion f(x) = x³- x₂ sei gegeben. Nun soll man die Gleichungen aller Tangenten an diese Funktion herausfinden, die durch den Punkt (0 | 0) gehen.

Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter. Die Ableitung von f(x) ist f'(x) = 3x² - 2^x. Die Punktsteigungsform einer Gerade ist y = m(x -x₀) + y₀. Für x₀ und y₀setze ich nun die gegebenen Werte (0 | 0) ein. Daraus folgt nun das die Gleichung der gesuchte Tangente folgendermaßen aussieht t = mx mit m = f'(x).

An diesem Punkt komme ich jedoch nicht mehr weiter. Hat noch jemand einen Tipp für mich?

Sorry, da habe ich mich jetzt ein bisschen vertippt. Also die Ausgangsfunktion heißt f(x) = x³ - x² und f'(x) = 3x² - 2x (f' --> Ableitung)

XFame

Hi, wenn du eine Tangente an einen Punkt $P(x\_0,y\_0)$ einer Funktion f anlegen willst, sieht das folgendermassen aus:

$y = f'(x\_0) \cdot (x - x\_0) + f(x_0)$

Hallo

Soweit war ich ja ungefähr auch schon, aber da weiß ich eben nicht mehr weiter. Ich habe jetzt meine Werte in deinen obigen Ansatz reingeschrieben:

y = (3x₀ - 2x₀) * (x - x₀) + (x₀³ -x₀²)

Wenn man das nun noch ein bisschen weiter zusammenfasst, kommt man auf folgendes:

y = 2x₀² - 2x₀x - 2x₀³ + x₀²

Wie mache ich da aber nun weiter? Wie gesagt, die Aufgabenstellung besteht darin, alle Tangente an f(x) = x³ - x² zu finden, die durch (0|0) gehen, d.h. ich muss dieses (0|0) noch irgendwie reinbringen. Die Frage ist nur: Wie?

Danke schonmal!

XFame

Also, es gibt nur eine Tangente im Punkt $P(x\_0;y\_0)$ , ich denke, das ist klar.
Du moechtest jetzt also alle Tangentengleichungen, die durch den Punkt P(0;0) gehen, richtig?
Sorry, da hatte ich dich falsch verstanden .

Kannst du mir mal bitte deine Funktion noch mal sagen?
Ich glaube du hast dich da irgendwo verschrieben, denn die 1. Ableitung von $f(x) = x^3 - x$ ist nicht $f'(x) = 3x^2 - 2^x$ sondern $f'(x) = 3x^2 - 1$ .

/e: Habe grad ein bisschen Mist geschrieben .

XFame

Also,

Die Tangentengleichung, an einen Punkt $x_0$ sieht ja folgendermassen aus: $y = t(x) = f'(x\_0) \cdot x - f'(x\_0) \cdot x\_0 + f(x\_0)$

Bei einer linearen Funktion, der Form $y = mx + n$ , die durch den Ursprung geht, muss n = 0 sein, bzw. \- f'(x\_0) \cdot x\_0 + f(x_0) = 0 (hier das Absolutglied) gelten.

Jetzt bist du eigentlich schon (fast) fertig.
Du musst nur noch x ausrechnen.
Es gibt uebrigens nur eine Loesung, und das ist die Tangente an P(0;0), also an den Ursprung.

micha83

Hallo Leute!

Bin mir nicht ganz sicher, aber müsste nicht die Tangente an den Punkt (1/2,-1/8) auch durch den Ursprung gehen, da die Steigung an der Stelle -1/4 ist. Hab's allerdings noch nicht genau nachgerechnet.

XFame

Noe, leider nicht .

micha83

Versteh ich nicht. Wo hab ich denn dann meinen Denkfehler. Wenn ich die Stelle 1/2 in deine Gleichung
y=t(x)=f'(x0)*x-f'(x0)*x0+f(x0)
einsetze, und da
f(1/2)=-1/8
und
f'(1/2)=-1/4
erhalte ich doch dann
y=-1/4*x.
Und das ist doch eine Ursprungsgerade.