Knobelaufgabe

Hallo Forum,
ich habe eine Knobelaufgabe bekommen. Wenn man zwei Möglichkeiten hat die Zahl 1000 als Summe darzustellen:
1. Die Summanden bestehen nur aus ungeraden Zahlen
2. Die Summanden bestehen nur aus geraden Zahlen

Bei welchen beiden Möglichkeiten habe ich mehr Kombinationen?
Ich würde sagen bei ersterer, weil bei 2. nur eine gerade Anzahl von ungeraden Zahlen erlaubt ist. Aber so ganz klingt die Sache nicht hieb und Stichfest. Habt Ihr eine bessere Idee?

volkard

kannste mir mal schnell die antwort auf deine frage geben für 4, 6 und 8 statt 1000?

Du hast Recht, bei 6 gibt es 2 gerade und schon 4 ungerade Möglichkeiten.

Vielleicht könnte man die aufgabe über eine Abbildung lösen? Aus jeder geraden Kombination kann man eine ungerade machen, indem man auf die erste Zahl eins drauf addiert, und zum Ausgleich der nächsten Zahl eins abzieht. Wenn eine ungerade Anzahl von summanden da ist muß die letzte Zahl aufgeteilt werden. Wenn ich diesen Weg gehe muß ich zeigen das die Abbildung bijektiv ist...

jakob.f

-------- schrieb:

Du hast Recht, bei 6 gibt es 2 gerade und schon 4 ungerade Möglichkeiten.

Wie?
6 = 2+2+2 = 4+2 = 6
6 = 1+1+1+1+1+1 = 3+1+1+1 = 3+3 = 5+1
Ich gehe davon aus, dass die Anordnung der Summanden keine Rolle spielt.
Ist zwar immer noch einer mehr, ich würde aber nicht auf Allgemeinheit schließen.

1+5=6
Für den "Beweis" muß die Abbildung injektiv sein. Nicht bijektiv.

Die Lösung ist folgende:
Erstelle eine Abbildung f die aus jeder geraden Zerlegung eine ungerade macht, weise nach das diese Abbildung injektiv, aber nicht surjektiv ist:

Abbildung: Nehme eine Zahl z aus einer geraden Zerlegung und teile sie in z-1 und 1 auf. Mach das mit jeder geraden Zahl.
Injektiv: Wenn man eine ungerade Zerlegung mit f erstellt hat gibt es nur eine Möglichkeit daraus wieder eine gerade Zerlegung machen, wenn man f^-1 darauf anwendet.
f ist nicht surjetiv: Zerlegungen die weniger Einsen als Zahlen größer Eins enthalten werden durch f nicht erzeugt. zB.: {997, 3}

------------- schrieb:

Injektiv: Wenn man eine ungerade Zerlegung mit f erstellt hat gibt es nur eine Möglichkeit daraus wieder eine gerade Zerlegung machen, wenn man f^-1 darauf anwendet.

Bist du dir sicher?

4 (gerade Zerlegung) ->_f 1+3 ->~Summanden "verschieben"~ 2+2