4. Extremwert

Extremwert

  • G

    ich habe die funktion f(x) = 4-x^2, jetzt soll ich den punkt auf dem graphen finden, der am dichtesten am ursprung(0/0) liegt

    meine Idee wäre ein dreieck zu benutzen dessen hypothenuse die entfernung zwischen dem ursprunge un dem graphen angibt und zu versuchen die hypothenuse so klein wie möglich zu wählen, aber sonst 😕 😕 😕

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  • J

    Ja, das hört sich doch gut an. Du hast dann eine Funktion für den Abstand zum Ursprung. Dann bestimmst du das/die Minimum/Minima.

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  • G

    Jan schrieb:

    Ja, das hört sich doch gut an. Du hast dann eine Funktion für den Abstand zum Ursprung. Dann bestimmst du das/die Minimum/Minima.

    ne ich komm nicht drauf, ich hätte den pythagoras mit x^2 + y^2 = c^2 also meine gesuchte länge un ne lineare funktion von der ich weiß, dass n = 0 ist und der anstieg halt variabel

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  • D

    steff3 schrieb:

    Jan schrieb:

    Ja, das hört sich doch gut an. Du hast dann eine Funktion für den Abstand zum Ursprung. Dann bestimmst du das/die Minimum/Minima.

    ne ich komm nicht drauf, ich hätte den pythagoras mit x^2 + y^2 = c^2 also meine gesuchte länge un ne lineare funktion von der ich weiß, dass n = 0 ist und der anstieg halt variabel

    Ich kapier den Satz zwar nicht, aber c^2 ist das Quadrat deines Abstandes. x bleibt x, y=f(x), also ist c2=dist_sq(x)=x2+(f(x))^2. Die Kurve kannst Du dann ja wohl diskutieren, oder wo ist da dein Problem?

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  • X

    Wo hat denn die Funktion

    y=a(x)=x2+(4−x2)2y = a(x) = \sqrt{x^2 + (4-x^2)^2}

    ihr/ihre Minimum/Minima?

    Bilde doch erstmal die 1. Ableitung und bestimme die Wendestellen.

    /e: Wieso geht die Wurzel nicht?

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  • G

    XFame schrieb:

    Wo hat denn die Funktion

    y=a(x)=sqrtx2+(4−x2)2y = a(x) = sqrt{x^2 + (4-x^2)^2}

    ihr/ihre Minimum/Minima?

    Bilde doch erstmal die 1. Ableitung und bestimme die Wendestellen.

    /e: Wieso geht die Wurzel nicht?

    maxima liegt bei 0.7 und -0.7
    mini bei 0

    und wozu bitte die wendestellen?

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  • X

    Wie kommst du auf deine Ergebnisse?

    Wendestellen, um die Minima herauszufinden?

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  • G

    XFame schrieb:

    Wie kommst du auf deine Ergebnisse?

    Wendestellen, um die Minima herauszufinden?

    meine Ableitungsfunktion ist f`(x) = -4x^3+2x
    die hat als nullstellen -0,7 0 und 0,7

    das hab ich dann in meine 2te ableitun gepackt f(x) = -12x^2+2 f(0,7) = -4 < 0 ist und deshalb ein maximum...

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  • B

    <unwichtig>
    y=a(x)=x2+(4−x2)2y = a(x) = \sqrt{x^2 + (4-x^2)^2}

    Wurzel geht doch... Musst halt schon einen Backslash davor machen 🙄

    mfg
    </unwichtig>

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  • X

    Danke Bloops.

    steff3, deine Ergebnise koennen nicht richtig sein.

    Dann wuerde ja der minimale Abstand 0 sein. Das ist aber Quatsch, da die Funktion den Ursprung nicht schneidet.

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  • G

    XFame schrieb:

    Danke Bloops.

    steff3, deine Ergebnise koennen nicht richtig sein.

    Dann wuerde ja der minimale Abstand 0 sein. Das ist aber Quatsch, da die Funktion den Ursprung nicht schneidet.

    die funktion die den abstand beschreibt lautet -x4+x2+16

    die ableitungen sind
    -4x^3+2x
    -12x^2+2

    die nullstellen für die erste ableitung sind -0,7 0 0,7

    wo soll jetzt der fehler sein 😞 😕

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  • T

    Ich würde einfach das Quadrat des Abstands a(x)^2 minimieren. Denn wenn das minimal ist, ist auch a(x) minimal. Dann sparst du dir das Rechnen mit der Wurzel.

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  • X

    Recht hat der Mann ^^ 🙂 .

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  • T

    Steff3, irgendwas ist mit deiner Abstandfunktion schief gegangen.

    d2=x2+y2=x2+(4−x2)2=−7x2+16+x4=:a(x)d^2 = x^2 + y^2 = x^2 + (4 - x^2)^2 = -7x^2 + 16 + x^4 =: a(x)
    a′(x)=−14x+4x3=x⋅(−14+4x2)=0a'(x) = -14x + 4x^3 = x \cdot (-14 + 4 x^2) = 0

    edit: Und einfach die lokalen Minima (die Dinger mit a'(x) = 0 und a''(x) > 0) zu berechnen, reicht noch nicht ganz aus. Es könnte ja sein, dass mit x→±∞x \rightarrow \pm\infty die Funktion immer weiter fällt.

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  • J

    Taurin schrieb:

    Es könnte ja sein, dass mit x→±∞x \rightarrow \pm\infty die Funktion immer weiter fällt.

    Können wir das für logisch halten? 🙄

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  • G

    Taurin schrieb:

    Steff3, irgendwas ist mit deiner Abstandfunktion schief gegangen.

    d2=x2+y2=x2+(4−x2)2=−7x2+16+x4=:a(x)d^2 = x^2 + y^2 = x^2 + (4 - x^2)^2 = -7x^2 + 16 + x^4 =: a(x)
    a′(x)=−14x+4x3=x⋅(−14+4x2)=0a'(x) = -14x + 4x^3 = x \cdot (-14 + 4 x^2) = 0

    edit: Und einfach die lokalen Minima (die Dinger mit a'(x) = 0 und a''(x) > 0) zu berechnen, reicht noch nicht ganz aus. Es könnte ja sein, dass mit x→±∞x \rightarrow \pm\infty die Funktion immer weiter fällt.

    😡 ich war so dämlich die 2te binomische formel einfach zu ignorieren 👎

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  • G

    so ich denke jetzt stimmts, für x = 0 erhält man den größten abstand von 4

    wenn man 1,87 oder -1,87 einsetzt den geringsten von 1,93

    ein großes DANKE an alle 👍

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  • X

    Nicht ganz, denn der Abstand kann ja beliebig gross sein 😉 .

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  • G

    XFame schrieb:

    Nicht ganz, denn der Abstand kann ja beliebig gross sein 😉 .

    ja okay im negativen bereich, denn habe ich aber schon gar nicht mehr betrachtet

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  • ?

    steff3 schrieb:

    XFame schrieb:

    Nicht ganz, denn der Abstand kann ja beliebig gross sein 😉 .

    ja okay im negativen bereich, denn habe ich aber schon gar nicht mehr betrachtet

    Und wieso nicht? Immerhin gehört es ja noch dazu, zumindest den Begründungssatz solltest du noch fallen lassen...

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  • ?

    \left|{{x}\choose{4-x^2}} - {{0}\choose{0}}\right| = \left|{x}\choose{4-x^2}\right| = \sqrt{x^2 + (4-x)^2} = \mbox{min}
    \Rightarrow x^2 + (4-x)^2 = \mbox{min}
    ⇒2x−2(4−x)=0\Rightarrow 2x - 2(4-x) = 0
    ⇒4x=8\Rightarrow 4x = 8
    ⇒x=2\Rightarrow x = 2
    ⇒y=4−22=0\Rightarrow y = 4 -2^2 = 0

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