Matrix Invertieren - aber nur eine bestimmte Stelle der inversen ist interessant

[Shade Of Mine]

Hallo Leute.

Im Studium haben wir gelernt wie man eine inverse Matrix bildet. Langwieriger Prozess

Aber ich habe erfahren, dass es da ein schnelleres Verfahren gibt, wenn mich nur eine bestimmte Stelle in der invertierten Matrix interessiert. Leider habe ich nur die Haelfte mitbekommen und dachte, jemand von euch kann mir diese Technik erklaeren.

Es gibt irgendwie so:
Man bildet die Determinate und kann die Matrix dann reduzieren und das Spiel geht von vorne los und am ende kommt man dann irgendwie auf die relevante Stelle.

Sehr schwamming und danach laesst sich nicht googlen Aber ich denke jemand von euch kennt das Verfahren sicher oder zumindest den Namen, damit man danach googlen kann...

[Jester]

Die Inverse bestimmen macht man, indem man simultan mehrere LGS löst. Eine Reduktion wäre schonmal: Du löst nur die Spalte in der Dein Wert stehen wird.

Das macht's schonmal viel netter. Zum Determinante fällt mir dann die Cramersche Regel ein (oder kramersche?), mit der kann man mit Hilfe von Determinanten LGS lösen.

Möglicherweise kommst Du damit schon weiter?

MfG Jester

[Taurin]

Vielleicht auch mit Hilfe von Blockmatritzen. Ich bau mal einen Spezialfall:

A = (B 0)
          (0 C)

Wobei A (nxn)-Matrix, B (mxm)-Matrix, C (kxk)-Matrix, A regulär und m+k = n.
Dann ist

A^-1 = (B^-1  0  )
              ( 0   C^-1)

[Shade Of Mine]

Jester schrieb:

Die Inverse bestimmen macht man, indem man simultan mehrere LGS löst. Eine Reduktion wäre schonmal: Du löst nur die Spalte in der Dein Wert stehen wird.

Oha? Das darf ich?

Kommt da nicht 'bloedsinn' raus? Ich kann die anderen spalten ja nicht ignorieren...?

Ich habe uebrigens kein Problem damit die Inverse zu ermitteln. Aber wir brauchen immer nur eine bestimmte Stelle der Inversen anzugeben, so dass man sich es sparen kann die komplette matrix zu rechnen...

Ich hab in diesem Zusammenhang eben von diesem Verfahren ueber die Determinate gehoert... Leider war die Erklaerung zu schnell und kurz als dass ich es verstanden haette Und den Namen wusste auch niemand

Zum Determinante fällt mir dann die Cramersche Regel ein (oder kramersche?), mit der kann man mit Hilfe von Determinanten LGS lösen.

Hab es auf Wikipedia nachgelesen und muss sagen, es schaut ein bisschen danach aus, als ob es mir nichts bringen wuerde. Allerdings muss ich gestehen dass ich den _Sinn_ der Matrix Invertierung nicht verstanden habe - dh, ich komm von der cramersche uU doch auf meine gesuchte Zahl, nur fehlt mir hier das Verstaendnis

Wir haben bei der Klausur zB folgende Angabe:
Bilde die inverse Matrix von:

1 2 3
2 4 5
7 0 1

und gefragt ist zB z22, also die rechte untere Zahl der inversen Matrix.

die 1. Vereinfachung ist, von der inversen nur die rechte spalte auszurechnen - aber die linke matrix muss ich ja trotzdem komplett auf die einheitsmatrix bringen - und genau das kostet sehr viel Zeit.

[Jester]

Mit der ersten Vereinfachung meinte ich genau, daß Du nur die rechte Spalte der Inversen ausrechnest.

Aber LGS lösen geht mit der Cramerschen Regel. Die besagt sowas in der Art:

A*x = b und Du willst die Variable x_k berechnen.
Dann gilt x_k = det A_k(b) / det A

A_k(b) ist die Matrix A, nur daß die k-te Spalte durch den Vektor b ersetzt wurde.
Das heißt: Du mußt zwei Determinanten berechnen. Ob das schneller ist weiß ich nicht. Hängt wohl stark davon ab, wie gut sich die Determinanten berechnen lassen. Sowas geht aber oft recht schnell.

Blockstrukturen wie Taurin sie schon erwähnt hat helfen da, weil man die Determinante als Produkt der Determinanten der einzelnen Blöcke kriegt.

MfG Jester

[mata^]

a^-1=1/det(a) * a adjungiert

a adjungiert berechnet man über streichungsmatrizen. wenn man nun nur eine position haben will, muss man da nur eine berechnen, sollte um einiges einfacher sein. ich kann leider kein latex..

(1 3 2)
a=(2 1 3)
  (1 2 1)

det a=18-14=4

ich will die mittlere position der inversen:

benötigte streichungsmatrix:

  (1 | 5)
a=(- + -)
  (8 | 6)

deren determinante ist 6-40=-34

=> inverse hat in der mitte die 1/4*-34

beachtet werden muss bei adjungierte berechnen noch, dass sich das vorzeichen immer abwechselt (oben links +, daneben minus usw), außerdem muss die transponierte betrachtet werden (war bei der mitte ja egal)

gruß, mata

[Jester]

Das läuft genau auf das raus was ich auch beschrieben hatte.

[mata^]

das versteh ich nich ganz. mit der cramerschen regel löst man lgs, indem man determinanten ausrechnet. mit dem von mir beschriebenen verfahren kann man inverse berechnen. es ging doch um die berechnung von inversen, nicht von determinanten. bei der cramerschen regel werden doch keine streichungsmatrizen berechnet, sondern es wird immer die i-te spalte mit der rechten seite des lgs ersetzt. so erhält man doch keine inverse...

[Jester]

Schreibs Dir auf.

Invertieren macht man, indem man simultan mehrere LGS löst. Interessiert man sich für Spalte k, so löst man halt nur die Seite, wo rechts an k-ter Stelle die 1 steht, sonst lauter 0en.

Cramersche Regel teilt Determinanten. Die Determinante der Matrix benutzt Du. Danach setzt Du die rechte Seite in der interessierenden Spalte ein. Dadurch entsteht eine Spalte in der genau eine 1 steht, sonst nur 0en. Die Determinante läßt sich durch streichen dieser Spalte berechnen.

Das entspricht haargenau der Rechnung, die Du beschrieben hast.

[Shade Of Mine]

das was mata geschrieben hat ist genau das was ich gesucht habe
kannst du mir das bitte etwas aufuehrlicher erklaeren oder link oder aehnliches posten? Das waere echt super

@Jester:
Wie gesagt, wir muessen nur eine Matrix invertieren von LGS loesen keine spur (zumindest bei der Aufgabe). Da mir, wie schon gesagt, der Sinn der invertierung nicht klar ist (und momentan, zumindest studiumstechnisch auch irrelevant ist) kann ich mit deinen Erklaerungen recht wenig anfangen.

Da ich matrix invertieren nicht mit LGS loesen in Zusammenhang bringen kann

[Jester]

Kann es sein, daß Du Dich gerade weigerst zu denken?

Matrix invertieren *ist* Lösen eines LGS bzw. mehrerer:
Man schreibt sich die Matrix hin und rechts daneben die Einheitsmatrix, danach bringt man das mit Gauß auf Diagonalform.
Jetzt denk Dir mal, daß rechts nicht die komplette Einheitsmatrix steht, sondern immer nur eine Spalte davon. Jetzt mach auch die Gaußumformung. Siehste, daß es die Gleiche ist? Also löst Du LGSe beim Invertieren.

Nimm Dir 5 Minuten Zeit und schreib es auf. Da lernste was und kannst danach auch die Rechnung durchführen.

[Taurin]

Und wenn du dir Jesters Tipp klar gemacht hast, kann man auch sehen, dass (mit Ausnahme von Hausaufgaben/Klausuraufgaben) das Invertieren einer Matrix so gut wie immer überflüssig ist. Meistens taucht eine Inverse immer als Produkt mit einem Vektor auf: $A^{-1}b$. Statt an dieser Stelle $A$ zu invertieren (also n LGSe zu lösen) und anschließend eine Matrix-Vektot Multiplikation durchzuführen, löst man das Gleichungssystem $Ax = b$ und bekommt als Ergebnis $x = A^{-1}b$. Damit spart man sich gräßlich viel Arbeit, man muss nämlich nur noch genau ein LGS lösen (nicht n), und die Matrix-Vektor-Multiplikation spart man sich auch gleich.

Das hat ein Prof von mir mal mit dem Lemma "Wer Matrizen invertiert ist doof." zusammengefasst.