Abzählbar / Überabzählbar unendlich

[lustig]

Hallo,

ich habe mit den beiden Begriffen ein kleines Problem. Ich weiss an und für sich was sie bedeuten, aber ich habe bei einem Verständnisproblem bei einem Beispiel.
Wir haben bewiesen, dass es überabzählbar viele Binärfolgen gibt. Das ist mir noch klar, deshalb schreibe ich auch nichts zum Beweis. Danach haben wir daraus bewiesen, dass es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt, da die Binärfolgen als Dualbrüche aufgefasst werden können (jeder Binärfolge wird ein Bruch zugeordnet, bis auf abzählbar viele Ausnahmen).
Wieso darf ich das jetzt für Brüche machen und nicht für natürliche Zahlen? Ich könnte doch sagen, dass jede natürliche Zahl sich auch im binärsystem und damit als Binärfolge schreiben lässt. Das heisst doch auch, dass es für jede Binärfolge eine natürliche Zahl gibt? Das kann aber nicht sein, da die Binärfolgen überabzählbar sind und die natürlichen Zahlen abzählbar...

Binärfolge:
$b\_1, b\_2, b_3, ...$
Binärfolge, als Dualbruch aufgefasst:
$0.b\_1 b\_2 b\_3 b\_4 ... = \sum_{k=1}^\infty{b_k 2^{-k}}$
Binärfolge als Dualzahl aufgefasst:
$...b\_4 b\_3 b\_2 b\_1 = \sum_{k=1}^\infty{b_k 2^{k}}$

Irgendwo ist da ein Überlegungsfehler, aber wo?
Ich hoffe mein Problem ist verständlich, sonst versuch ich es nochmals anders zu beschreiben.

[Blablablabla]

$\sum_{k=1}^\infty{b_k 2^{k}}$
liegt nicht in IN.

[lustig]

Blablablabla schrieb:

$\sum_{k=1}^\infty{b_k 2^{k}}$
liegt nicht in IN.

das Problem ist ja gerade, dass ich nicht verstehe wieso das nicht in N liegt...

[Jockelx]

Hi,

erstmal:

lustig schrieb:

Wieso darf ich das jetzt für Brüche machen und nicht für natürliche Zahlen?

Du machst das für reelle Zahlen, nicht für Brüche.
Du kannst das Verfahren nicht übertragen, da es für natürliche oder
rationale Zahlen keine unendlich Binärfolge gibt.
Gibst du ein q aus Q vor, dann kann ich dir ein n aus N geben, bei
dem die Reihe abbricht. Bei Zahlen aus R ist das nicht der Fall.

Jockel

[lustig]

Ja, ich meinte natürlich reele Zahlen.

Jockelx schrieb:

Du kannst das Verfahren nicht übertragen, da es für natürliche oder
rationale Zahlen keine unendlich Binärfolge gibt.

Hmm, kann ich nicht sagen, dass 1 einfach der Binärfolge ...00000001 (unendlich Nullen vor der eins) entspricht? Oder ist es so, dass es viel mehr Binärfolgen gibt, weil bei einer Natürlichen Zahl ab einer bestimmten Stelle nur noch Nullen kommen, und das so zu sagen nur für einen Teil der Binärfolgen gilt?

[Jockelx]

lustig schrieb:

Wir haben bewiesen, dass es überabzählbar viele Binärfolgen gibt. Das ist mir noch klar...

Irgendwie wohl doch nicht. Du hast ja da sicherlich gezeigt, dass es keine
bijektive Abbildung von N nach {Binärfolgen} geben kann.

Genau das versuchst du jetzt aber irgendwie zu basteln.

Jockel

[Jester]

Jockelx schrieb:

Gibst du ein q aus Q vor, dann kann ich dir ein n aus N geben, bei
dem die Reihe abbricht. Bei Zahlen aus R ist das nicht der Fall.

Des glaub ich Dir nicht. Bin zwar zu faul ein Beispiel zu suchen, aber 1/3 läßt sich dezimal nicht endlich entwiclen. Binär gibt es sicher auch solche Fälle.

MfG Jester

[Jockelx]

Das widerspricht meiner Aussage aber nicht.
Entscheidend ist, um bei deinem Beispiel zu bleiben, dass die
Dezimalbruchendwicklung von 1/3 keine neue Zahl schafft,
sondern eben nur eine andere Darstellung von 1/3.
Wenn die rationale Folge der Dezimalbruchentwicklung aber gegen
eine reelle Zahl konvergiert, dann ist das halt eine 'neue Zahl', die
in unsere Binärfolge echt erweitert.

Jockel

[Blubbbbb]

lustig schrieb:

Blablablabla schrieb:

$\sum_{k=1}^\infty{b_k 2^{k}}$
liegt nicht in IN.

das Problem ist ja gerade, dass ich nicht verstehe wieso das nicht in N liegt...

Es liegt nur in IN, wenn es k € IN gibt, für das gilt: b(i)=0 für i>k, das sind aber abzählbar viele Fälle.

[Jester]

Jockelx schrieb:

Das widerspricht meiner Aussage aber nicht.
Entscheidend ist, um bei deinem Beispiel zu bleiben, dass die
Dezimalbruchendwicklung von 1/3 keine neue Zahl schafft,
sondern eben nur eine andere Darstellung von 1/3.
Wenn die rationale Folge der Dezimalbruchentwicklung aber gegen
eine reelle Zahl konvergiert, dann ist das halt eine 'neue Zahl', die
in unsere Binärfolge echt erweitert.

Jockel

Kannst Du mal genauer definieren was "abbrechen" für Dich bedeutet?
1/3 = 0.333... bricht für mich nicht ab, aber mein Einspruch.