Skalarfeld (Definition)

bluecode

hi,

Ist ein Skalarfeld ein mathematischer Begriff oder eher ein in den Naturwissenschaften verwendeter Begriff? Ein Skalarfeld ist laut wikipedia eine Funktion, die R^n auf R abbildet (laut wikipedia), mit dem Zusatz, dass sie jedem Punkt im Raum einen Skalar zuordnet. Heißt das, dass die Funktion keine Definitionslücken aufweisen darf?
Oder gibt es einen anderen Fachbegriff für Funktionen mehrerer unabhängiger veränderlicher und einer abhängigen Variable?

Danke

Jester

Ich kenn zwar nur den Begriff eines Vektorfeldes, da ordnet man jedem Punkt einen Vektor zu, aber ein Skalarfeld scheint im Wesentlichen das Gleiche zu sein.

Du ordnest einfach jeder Position einen Wert zu. Das kann zum Beispiel ein Temperaturwert sein oder ein Druck. Würdest Du einen Vektor zuordnen, dann könnte man damit vielleicht auch Luftzug modellieren.

Ist auf jeden Fall ein mathematischer Begriff. In der Physik (und glaub auch E-Technik) sind solche Dinger aber auch sehr häufig anzutreffen. Felder (z.B: Magnetfelder) lassen sich nämlich durch solche Abbildungen beschreiben. Die sind dann allerdings meist Vektorwertig.

Die Definition läßt keine Lücken zu. Ich glaube aber, daß die auch sehr speziell ist. Ich kenne zumindest Vektorfelder auch auf nicht dem ganzen Raum, zum Beispiel nur entlang einer Kurve, oder zum Beispiel nur auf der Oberfläche der Einheitskugel.

MfG Jester

scrub

in der elektrotechnik heißt sowas potentialfeld. ein potentialfeld ist ein konservatives feld.
wenn die sogenannte integrabilitätsbedingung bezüglich eines einfach zusammenhängenden gebiets erfüllt ist (die partiellen ableitung höherer ordnung also identisch sind), so ist das entsprechende vektorfeld in diesem gebiet ein potentialfeld.

edit: kaum ist die prüfung nen monat vorbei, vergißt man schon die details.

bluecode

hi,

danke für eure Antworten
Das Problem ist, dass ich das für meine Facharbeit brauch (Thema: Veralgemeinerung der Ableitung und Extremwertberechnung). Da ist natürlich der Gradient dabei, der laut wikipedia als Funktion eines Skalarfeldes. Und da fangen schon die Definitionsprobleme an. Wenn die Definitionsmenge eines Skalarfeldes keine Definitionslücken aufweisen darf, dann wären da ja ziemlich viele Funktionen ohne Gradient , also z.B.:

$f(x, y) = (xy^2 + 2xy + x) / (x^2 - y^2)$

Die Funktion hat ja bekanntlich Lücken. Ist sie deshalb kein Skalarfeld und ist deshalb auch kein Gradient definiert, bzw. darauf aufbauend auch nicht die Ableitung des Gradienten, also eine Jacobi-Matrix bzw. die Hesse-Matrix?

Jester

Normalerweise spricht man von einem Skalarfeld auf einer Menge. Die Menge mußte dann halt passend vorgeben. Der Artikel auf Wikipedia ist sehr kurz und enthält überhaupt keine Details. Orientiere Dich am besten an irgendwas anderem.