Verstehe Angabe nicht: was ist die "Menge der unbeschraenkten Zahlenfolgen"

[Blue-Tiger]

Hiho!
Muss leider wieder mal wegen einer Aufgabe nachfragen, hoff ihr koennt mir weiterhelfen: Ich hab ein kleines Verstaendnisprobem bei folgender Angabe:

Seien X die Menge der beschraenkten Zahlenfolgen und d(x, y) := sup~i <= i <= inf~ |x_i-y_i|
Ist (X, d) ein metrischer Raum?

Meine Frage: was ist die Menge der beschraenkten Zahlenfolgen? Sind das alle Folgen, die nach oben & unten beschraenkt sind, oder alle Folgen, die nur endlich viele Elemente hat, oder...
(Dementsprechend versteh ich auch nicht, wie d() definiert ist: ist d() definiert als der Abstand der Supremen der Folgen x_n und y_n oder der groesste Abstand zwischen zwei Folgengliedern von x_n und y_n)

[Taurin]

Eine Folge x_n heißt nach oben beschränkt, wenn für alle natürlichen Zahlen n ab einer bestimmten, festen Grenze (also für alle n > N) gilt: Es gibt eine Schranke C mit x_n <= C.

Eine Folge x_n heißt nach unten beschränkt, wenn für alle natürlichen Zahlen n ab einer bestimmten, festen Grenze (also für alle n > N) gilt: Es gibt eine Schranke C mit x_n >= C.

Sind dir die Begriffe Infimum und Spupremum klar?

[Blue-Tiger]

jopp, alles klar, danke vielmals

[MamboKurt]

das mit "ab einer festen Grenze" kannst auch weg lassen, da vor einer bestimmten grenze nur endlich viele folgenglieder liegen und einen endliche menge immer beschränkt ist.

*klugscheiß*

[Taurin]

Die "feste Grenze" hilft einem aber weiter, sobald man Grenzwertbetrachtungen macht. Deswegen wird die Beschränktheit überlicherweise (ist doch so?!?) so formuliert.

[Jockelx]

Taurin schrieb:

(ist doch so?!?)

Ich war über deine Definition auch verwundert.
Normalerweise gibt man eine Schranke C an, die nicht in
der Menge liegt.

Jockel

[MamboKurt]

wenn man beschränktheit durch folgen betrachtet um darauf auf konvergenz zu folgern, dann ist es oft so, dass diese oft erst ab einem bestimmten N ε |N gilt. dort ist es dann sinnvoll das so zu definieren