Eine Frage zur Laenge
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Hi,
jemand meinte mal, da es verschieden lange Strecken gibt und beide ja aus unendlich vielen Punkten bestehen, es auch verschiedene Unendlichkeiten gibt.Dass es verschiedene Unendlichkeiten gibt, ist klar, nur finde ich das Beispiel dafuer voellig falsch.
Schliesslich existiert doch zwischen den zwei Punktmengen immer eine bijektive Zuordnung.
Danach waeren dann ja alle Strecken gleich lang und Unendlich gleich Unendlich , also voelliger Bloedsinn.Oder sehe ich da was falsch?
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XFame schrieb:
Danach waeren dann ja alle Strecken gleich lang
Der Schluss stimmt nicht, aber ansonsten hast Du voellig recht.
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Naja, wenn er unterschiedliche Laengen als unterschiedliche Mengen auffasst, dann waer das der logische Schluss.
Aber was macht denn nun eigentlich die Laenge aus ?
/e: Es gibt doch dann zwischen jeder beliebigen Punktmenge (also jeder "Linie") eine bijektive Zuordnung zu einer anderen beliebigen Punktmenge, oder?
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Du mußt unterscheiden zwischen Linie und Punktemenge. Zwischen zwei Linien kann man leicht ne Bijektion angeben. Die sind also gleichmächtig.
Nimmst Du aber beliebige Punktemengen, dann nimm mal die Punktemenge Q und die Punnktemenge R. Die sind nicht gleichmächtig.
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Ok, ich meinte aber jetzt nur Linien (Kurven, Geraden, Wellen, Kreise, Ellipsen, etc.), die man als Punktmengen auffasst. Wie ist eigentlich der korrekte Begriff fuer eine solche "Linie" und wie ist denn nun die Laenge definiert?
Danke schonmal.
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Normalerweise sagt man, man nennt eine Kurve eine stetige Abbildung c vom Einheitsintervall I:=[0,1] in den Raum den man betrachtet.
Allerdings ist diese Forderung noch nicht sehr streng. Es gibt blöderweise stetige Abbildungen c:I->IxI (also Einheitsquadrat), die auch noch surjektiv sind. Siehe Peano-Kurve etc.
Will man längen müssen, dann sollte das Ding rektifizierbar sein. Was dazu genau nötig ist kann ich Dir nicht sagen. Stückweise stetig differenzierbar sollte aber schonmal ein guter Anfang sein.
Das Bild c(I) nennt man dann Spur des Wegs oder der Kurve c.