Induktion 2^n>n^3

[intuition]

Hallo zusammen,

ich habe irgendwie Probleme bei folgender Induktion:

2^n > n^3 , n>=10

Irgendwie hakts beim Induktionsschluss:

2^(n+1) = 2*2^n > n^3*2 = n^3 + n^3
                ^
                IV

so, n^3 + n^3 soll ja nun größer als n²⁺³ⁿ2+3n+1 sein, also:

z.z. n^3>3n2+3n+1

Aber wie geht das? irgendwie steh ich auf'm schlau.

Viele Grüße!

[fubar]

Hier mal ein kleiner Tip:
2^(n+1) = 2*2^n > n^3*2 = n^3 + n^3 >= n^3 + 10*n^2 für n >= 10 usw.

[intuition]

hmmm, leider kapier ich deinen tipp nicht. jetzt müsste ich ja wieder noch zeigen, dass 10n^2>3n2+3n+1, erscheint mir jetzt nicht einfacher

[CStoll (off)]

10n²=3n²+7n²=3n²+7n*n>=_n>=103n²+70n (kann sein, daß du die Vorbedingung nochmal einsetzen mußt, um auf dein Ergebnis zu kommen).

[fubar]

n^3 + n^3 = n^3 + n*n^2 >= n^3 + 10*n^2
Für n >= 10 ist die Abschätzung doch klar, da muß man eigentlich nichts beweisen.

[SG1]

fubar schrieb:

Für n >= 10 ist die Abschätzung doch klar,

Wenns so klar ist, duerfte der Beweis doch einfach sein.

[fubar]

@SG1: Meine Bemerkung bezog sich auf den letzten Teil der Abschätzung, also n*n^2 >= 10*n^2 für n >= 10, oder was habe ich jetzt falsch verstanden

[SG1]

Achso, sorry. Hatte mich verlesen.