Extremwerte ermitteln

nman

Hallo allerseits,

Ich habe ein kleines Problem mit einem Übungsbeispiel aus Analysis II, bei dem ich einfach nicht weiterkomme.

Gegeben ist die Funktion $F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2+6xy+8yz+2x+8y+2z-42=0$ , deren Extremwerte ich ermitteln soll. In meiner letzten Übung habe ich meine Lösung dazu präsentiert, die der Übungsleiterin aber nicht so recht gepasst hat. (Habe partielle Ableitungen gebildet, Hesse-Matrix gebildet usw.)

Das Beispiel sollte ihr zufolge zu lösen sein, indem man die Gleichung auf z umstellt.

Gesagt, getan:
$z^2+\left( 2+8y \right)z + x^2+y^2+6xy+2x+8y-42=0$
Lässt sich mit der kleinen Lösungsformel auch mehr oder weniger gut lösen:

$z_{1,2}=-1-4y\pm\sqrt{\frac{(2+8y)^2}{4}-x^2-y^2-6xy-2x-8y+42}$

Wenn ich das nun nach x differenziere, dann kommt dabei folgendes heraus:
$-\frac{x+3y+1}{\sqrt{43+15y^2-x^2-6xy-2x}}$

Und jetzt?

Irgendwie kapiere ich das Beispiel einfach nicht so recht, die Lösung mit der Hesse-Matrix mag ja falsch gewesen sein, aber ich wusste damit wesentlich mehr anzufangen. Mag uU auch daran liegen, dass wir in der Vorlesung dem Übungsstoff zwei Wochen hinterherhinken, aber ich komme jedenfalls kein bisschen weiter und wäre für Lösungsansätze und Erklärungen aller Art sehr dankbar.

Mal davon abgesehen, dass sich für sowas prinzipiell wohl am ehesten die Lagrangemethode anbieten würde (Einfaches partielles Ableiten der Ausgangsgleichung geht nicht, da die Extrema nicht zu vergleichen sind, z.B. ist x+y bei x²+ y²=1 beschränkt), ist F so aufgeschrieben keine Funktion, eher eine Menge, was genau soll da extremiert werden, wenn es sowieso 0 ist?

nman

Stonymatz schrieb:

F so aufgeschrieben keine Funktion, eher eine Menge, was genau soll da extremiert werden, wenn es sowieso 0 ist?

Hm, habe das wohl nicht ganz korrekt aufgeschrieben, die genaue Angabe war folgendermaßen:
"14) Man bestimme die Gleichung der Tangentialebene der Fläche $z=z(x,y)$ , die durch die Gleichung $F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2+6xy+8yz+2x+8y+2z-42=0$ gegeben ist, im Punkt $(x\_0,y\_0,z_0)$ mit $x\_0=y\_0=1$ und $z_0 \gt 0$ und den Normalvektor."

Meine Aufgabenstellung war allerdings leicht abgeändert: "Extremwerte von F aus 14, Charakter des Extremums in 14"

Aber wie gesagt, ich werde aus dem Beispiel selbst nicht wirklich schlau und mein Ansatz wäre auch ein ganz anderer gewesen, ich versuche jetzt gerade einfach, nachzuvollziehen, was unsere Übungsleiterin gemeint haben könnte...

Die Aufgabe erscheint mir in der Tat nicht sonderlich wohldefiniert.
Das einzige, was mir jetzt vernünftig erscheinen würde, wären die Extrema von x(y,z), y(x,z), z(x,y), wobei dies jeweils 2 Funktionen sind.
Wenn dem aber so wäre, würde ich aber, so wie du tatest, z.b. für z(x,y) die Gradienten berechnen und die verdächtigen Stellen überprüfen.

Bei

nman schrieb:

$-\frac{x+3y+1}{\sqrt{43+15y^2-x^2-6xy-2x}}$

musst du ja lediglich den Zähler 0 setzen und gucken, dass der Nenner nicht 0 ist. Die 2. Ableitung scheint mir aber hässlich zu werden.

nman

Hm, ok, bin schon gespannt, was dann letztendlich die erwünschte Lösung ist...

Die zweite Ableitung macht mir keine Angst, hatte schon wesentlich unpraktischeres.

nman

So, das ganze hat sich geklärt. Die Übungsleiterin hat mit dem Professor gesprochen, das Beispiel war so gedacht, dass man das =0 am Ende ignorieren soll und dann einfach mit partiellen Ableitungen und Definitheit der Hesse-Matrix arbeitet.

Also im Grunde genau die Lösung, die ich letztes Mal hatte; die Angabe war einfach missverständlich.