Gruppe mit Einselement

[*-STORM-*]

Hallo, ich sitze an einer anscheinend sehr leichten Aufgabe, aber irgend wie seh ich nicht den notwendigen Schritt zum Ziel.

Gegeben sei eine Gruppe G mit e als neutrales Element. Seien a,b aus G mit a⁵=e und ab^-1a=b². Man zeige, dass b³¹=e ist.

Wie kann ich dies machen?
Habe folgende Regeln wo ich denke, dass ich diese benutzen kann:
Da G eine Gruppe ist, gilt folgendes:
a,b,c aus G; e aus G ist neutrales Element
- a(bc)=(ab)c
- ea=a
- inverses Element:?
Habe ich noch bestimmt zu a aus G: a^-1a=e=a⁵. Nun sind solche Gleichungen in einer Gruppe eindeutig lösbar. Daraus folgt doch a^-1=a⁴.
- da das neutrale Element der Gruppe gegeben ist, kann man auch ae=a verwenden

Leider habe ich es bis jetzt nicht geschafft die Behauptung zu zeigen. Bin auch noch nicht drauf gekommen, wie man ein b wegbekommen kann zu e?

Vielen Dank
MfG
Storm

[gruppe]

Bist du sicher,dass b^31 =e gezeigt werden soll und nicht b^30=e

[*-STORM-*]

Ja, bin mir sehr sicher. Ich weis auch, dass man z.B. folgendes machen kann
b³¹=b¹⁵b⁶. Also den Exponenten in nicht prime Exponenten zerlegen, hat mir aber ibs jetzt nicht viel gebracht.

[gruppe]

kann ich nicht mehr rehcnen oder ist b^15*b6 nicht b^21

[*-STORM-*]

Ups, hasst es richtig bemerkt, im Exponenten dann 25 und 6. Oder halt irgend eine andere Zerlegung.

[fdgdf]

b^32

[*-STORM-*]

Hi,

wie kann ich dies verstehen?

[Gruppe]

Ich denke ich babe die lösung:

a*b^-1*a=b2 <=> a^2=b3

wegen a^5=e gilt a^2*a3=a^3*b3=e
=> entweder b^3=e oder a^3=e
wenn a^3=e dann ist a^5=a3a^2=a2=e
a^5=a3a^2 =>a^2=e
wenn aber a^2=e dann ist auch b^3=a2=e
=> b^3 und a^2 ist auf jedenfall e

da b^3=e und a^2=e gilt ist a^2*b-1=b^3 <=> b^4=e

d.h. b^3 und b^4 sind e
=> b^31=b(7*4+3)=((b⁴⁾7)*b^3=e*e=e

gruss Gruppe

[Daniel E.]

Gruppe schrieb:

a*b^-1*a=b2 <=> a^2=b3

Da hast Du jetzt aber benutzt, daß die Gruppe abelsch ist (was nicht in der Aufgabe steht) -- oder übersehe ich was?

[*-STORM-*]

Danke für den Vorschlag, leider weis ich bei einigen Stellen nicht ob die so gemacht dürfen werden, z.B. bei
a*b^-1*a=b2 <=> a^2=b3 wie bist du dazu gekommen:
a*b^(-1)b=a*a*b(-1)=a^2*b(-1)=b^2 |*b
a^2=b3?
Wenn nicht, wie dann? Wenn ja, dann ist das umsortieren in einer Gruppe nicht erlaubt( ab=ba ist nicht definiert), sondern nur in einer Gruppe welche abelsch ist.

PS: War einer schneller.

[Gruppe]

Sry hab übersehen dass die gruppe nicht abelsch ist

[Gruppe]

hoff das stimmt jetzt so (bin auch erst im ersten semester)

a*b^-1*a=b2
<=>b^-1*a*b-1a=b
<=>(b^-1*a)*(b-1*a)=b |*(ba^-1)
<=>(b^-1*a)=b*(b*a-1)
<=>b^-1*a=b2*a^-1 |*b
<=>a=b^3*a-1|*a
<=>a^2=b3

[*-STORM-*]

Habe jetzt auch die ganze Zeit gebastelt, bin aber immer noch nicht drauf gekommen, habe nun noch mal die Aufgabe betrachtet, und machte leider große Augen:(, die eine Beziehung hatte ich falsch abgeschrieben, es muss
aba^-1=b² gelten. *selbst hau*
...

Vielleicht sehen wir ja jetzt was eindeutiges.

[SG1]

Gruppe schrieb:

<=>(b^-1*a)*(b-1*a)=b |*(b*a^-1)
<=>(b^-1*a)=b*(b*a-1)

Falsch.

[MamboKurt]

@gruppe:
nur so: sollte (b^-1*a)-1 nicht (a^-1*b) sein?
du benutzt dann nämlich auch wieder die kommutativität bei

(b^-1*a)*(b^-1*a)=b |*(b*a^-1)    <-Hier müsste (a^-1*b) stehen
<=>(b^-1*a)=b*(b*a^-1)

[SG1]

|-STORM-| schrieb:

Habe jetzt auch die ganze Zeit gebastelt, bin aber immer noch nicht drauf gekommen, habe nun noch mal die Aufgabe betrachtet, und machte leider große Augen:(, die eine Beziehung hatte ich falsch abgeschrieben, es muss
aba^-1=b² gelten. *selbst hau*

Achso, dann ist klar. Bilde mal b^4, b^8, b^16, b^32.

[MrBesserwisser]

$b^{32}$
$=(aba^{-1})(aba^{-1})\cdots(aba^{-1})$
$=a^2b^8a^{-2}$
\cdots \mbox{ das ganze ein paar mal wiederholen }
$=a^5ba^{-5}$
$=b$
also:
b^{32} = b\mbox{ } | * b^{-1}
$\Rightarrow b^{31} = e$

[MrBesserwisser]

Huch falsch abgeschrieben:

statt
$a^2b^8a^{-2}$
muss es heißen
$a^2b^{16}a^{-2}$

[*-STORM-*]

Hi,

habe es jetzt auch so wie Mr.Besserwisser.
Danke für eure Hilfe:)

MfG
Storm

[*-STORM-*]

Hallo nochmal,

habe noch nen anderes Problem beim Beweis ob eine Gruppe abelsch ist.
Problem war:
G eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen i gilt:
(ab)ⁱ=aⁱbⁱ für alle a,b aus G
G abelsch? Gilt dies auch für 2 aufeinanderfolgende Zahlen?

Mein Anfang war erst mal i€{k,k+1,k+2} k€IZ.
Wie bekomme ich es nun aber hin, dass ich aus
(ab)ⁱ=(ba)ⁱ machen kann?
Die Frage ob es auch für 2 hintereinanderfolgende Zahlen gilt, erübrigt sich doch, weil ich ja einfach i€{k,k+1} k€IZ setzen kann, oder?

MfG
Storm