4. Beweis lim(a(n))-lim(b(n))=A-B

Beweis lim(a(n))-lim(b(n))=A-B

  • H

    Hallo!
    Vorraussetzung: lim(a(n))=A;
    lim(b(n))=B;
    lim(c(n))=C;
    c1(n)=a(n)-b(n);
    c2(n)=a(n)b(n);
    c3(n)=a(n)/b(n);
    Zu besweisen: lim(c1(n))=A-B;
    lim(c2(n))=A    B;
    lim(c3(n))=A/B;

    Also für lim(c(n))=A+B;

    haben wir das Folgenermaßen gemacht:

    Da a(n) und b(n) konvergent sind, existieren €-Umgebungen um A bzw. B.

    da €>0 beliebig, wähle €/2 für die Umgebungen(das haben wir nur so gemacht, damit es anschaulicher wird.)

    U(A)=]A-€/2;A+€/2[
    U(B)=]B-€/2;B+€/2[

    =>
    A-€/2<a(n)<B+€/2
    B-€/2<b(n)<B+€/2

    => addieren

    A+B-€<a(n)+b(n)<A+B+€
    => A+B-€<c(n)<A+B+€

    => U(C)=]A+B-€;A+B-€[
    => lim(c(n))=A+B

    Aber bei minus mal und geteilt funktioniert das nich mehr wie mit dem addireren...

    Hat irgendjemand ne ahnung wie das gehn soll???

    Danke Schonma

    Hansi

    0
  • ?

    |a_n b_n - a b| = |a_n b_n - a_n b + a_n b - a b| = |a_n(b_n - b) + b(a_n - a)| = ... (jetzt du!)

    Für a_n / b_n reicht es nach a_n * b_n zu zeigen, dass 1/a_n --> 1/a ...

    0
  • J

    Und vielleicht noch die Idee für das Minus: Dreiecksungleichung!

    |a_n - b_n - (a - b)| = | a_n - a - (b_n - b)| <= |a_n -a| + |b_n - b| = ...

    MfG Jester

    0
  • H

    Also für die, die es interessiert:

    Für minus nimmt maneinfach 2 verschiedene €-Umgebungen un wählt die um B kleiner. Dies funktioniert, weil ja der Satz lautet das in jeder noch so kleinen €-Umgebung um den Grenzwert ab einer bestimmten Platzziffer unendlich viele innerhalb und endlich viele außerhalb liegen müssen.

    Für mal kann man auch unseren Ansatz benutzen: Man muss nur Fallunter zwischen der Größe von A und B und ob B-€/2 negativ wird, weil sich ja dann die größer kleiner Zeichen umdrehen.

    Für geteilt dasselbe, auch wieder Fallunterscheidungen und kann man dies dann auch wieder mit dem o.g. Satz begünden

    MFG

    Hansi

    0
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