4. Zwischenwertsatz in Q

Zwischenwertsatz in Q

  • B

    angenommen ich hab folgendes gegeben:
    a,b∈Qa,b\in \mathbb{Q}
    a<ba<b
    I=[a,b]\cap \mathbb{Q}

    gilt dann für f:I→Qf:I \rightarrow \mathbb{Q} der zwischenwertsatz?

    also rein intuitiv würde ich sofort behaupten: ja, er gilt.

    dummerweise basieren alle beweise die ich gefunden hab für den zws in R\mathbb{R} auf Intervallschachtelung, welche wiederum nur in R\mathbb{R} funktioniert, wenn ich das richtig sehe.

    hat vielleicht einer eine beweisidee oder ein gegenbeispiel parat?

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  • S

    Zwischenwertsatz war jetzt welcher von beiden? Der fuer stetige oder der fuer diffbare Funktionen?

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  • ?

    Gegenbeispiel: Schau dir mal Funktionen an, die reelle, aber keine rationale Nullstellen haben.

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  • B

    also eine funktion, wo Q\mathbb{Q} rauskommt wenn ich Q\mathbb{Q} reinstecke, die aber eine nullstelle hat welche in R\mathbb{R} liegt?
    klingt komisch, ich denk mal drüber nach :xmas1:

    achso, ich hab vergessen zu sagen das f stetig ist 😮

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  • C

    "Zwischenwertsatz: Wenn die reelle Funktion f(x) in einem abgeschlossenen Intervall [a;b] definiert und stetig ist und die Zahl c zwischen den Funktionswerten in a und b liegt, dann existiert in [a;b] ein Punkt x0x_{0} mit f(x0)=cf(x_{0}) = c" so steht das in meiner Formelsammlung drin (Stoecker). Taeusch ich mich wenn ich mal behaupte, dass der fuer R definiert ist und nich fuer Q ("reellen Funktion")?! Oder anders, waere denn die "reelle Funktion" ueberhaupt stetig in dem Intervall, wenn man nur rationale Zahlen fuer x hernehmen wuerde?

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  • B

    ja, die frage ist ja ob der zwischenwertsatz, welcher eigentlich nur für R definiert ist unter diesen umständen auch für Q gilt.

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  • J

    Eine Funktion, die stetig in Q ist kann man auf eindeutige Weise auf R fortsetzen. Als Funktionswert an einer Stelle r:

    Sei x_n eine Folge mit x_n --> r (ex. weil Q dicht in R).
    f(r) := lim f(x_n)

    Das hängt nicht von der Wahl der Folge ab, weil f stetig ist.

    Jetzt kriegen wir auch leicht den ZWS bzw. MWS: einfach f erweitern auf R und dann dort anwenden. Da f auf Q mit dem alten f übereinstimmt paßt alles.

    edit: die so gefundenen Werte sind natürlich nicht in Q sondern in R. Aber da Q wieder dicht in R liegt kannste eine Folge finden, die gegen das gefundene Urbild konvergiert. Du findest also in Q zumindest Punkte, die beliebig dicht drangliegen.

    MfG Jester

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  • ?

    f(x)=x^2-2; f(0) < 0; f (99) > 0 => (ZWS) Ex q aus Q mit f(q) = 0 *Blitz*

    Jockel

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  • J

    Jo, wir finden aber Werte in Q, die beliebig nahe an 0 herankommen. Das ist doch auch schonmal was wert, oder?

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  • ?

    Das ist zwar was wert, reicht dem ZWS aber nicht und danach war gefragt.

    Jockel

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  • B

    jop, danke Jockelx.
    wer hätte gedacht das es so einfach ist.. 😉
    ich hab mich irgendwie dadrauf versteift zu beweisen das es richtig ist, weil ich dachte das es richtig ist :xmas2:

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