kann man eigentlich folgendes sagen?
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Jester schrieb:
Und wenn wir uns solche Spitzfindigkeiten anschauen, dann müssen wir uns damit eben auf die Fundamente der Mathematik, also die Logik zurückziehen. Und da ist tatsächlich sehr genau festgelegt, was zur Syntax gehört und was nicht.
äh. schön.
Definition: Die Funktion f hat für x gegen a (mit a element |R) den Limes b, wenn es zu jedem (noch so kleinen) ε > 0 ein (im Allgemeinen von ε abhängiges) δ > 0 gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung | x − a | < δ genügen, auch | f(x) − b | < ε gilt.
das allein verlangt nicht, daß x eine variable ist. x kann sehr wohl ein ausdruck sein. ihr baut eine zusatzregel, daß x eine variable sein muß und diese zusatzregel kannste nicht auf die logik oder mathematik stützen. die ist nämlich nicht notwendig und deswegen steht sie nicht bei der definition dabei.
ich hab ne ganz unhandliche funktion g(x), die ich noch gar nicht genau kenne. ich konnte aber schon beweisen, daß g(x) stetig ist und als wertemenge |R hat. warum nicht schreiben
limes für g(x) gegen 5 von g(x)*g(x) ist 25 ?das problem ist noch nicht ganz vom tisch, ja, x war gebundene variable und unerreichbar. fehler von mir.
bei "limes für g(x) gegen 5 von g(x)*g(x) ist 25" ist wieder x gebundene variable, aber g ist außen sichbare funktion und wenn sie doch konstant sein sollte, haben wir wieder den später erkannten syntax error.
man kann natürlich die variablen-syntax herbeizwingen durch
limes für x gegen (g^-1)(5) von g(x)*g(x) ist 25
und den syntaxfehler verschieben auf (g^-1)(5). aber ich sehe keine notwendigkeit dafür.
:xmas2:
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volkard schrieb:
Definition: Die Funktion f hat für x gegen a (mit a element |R) den Limes b, wenn es zu jedem (noch so kleinen) ε > 0 ein (im Allgemeinen von ε abhängiges) δ > 0 gibt, sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung | x − a | < δ genügen, auch | f(x) − b | < ε gilt.
Da steckt doch jetzt ein "für alle x in Definitionsbereich mit |x-a| < ... etc.
drin. Das heißt Du wendest einen Quantor drauf an. Also muß x eine Variable sein, weil man nur Variablen quantisieren kann.
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volkard schrieb:
für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f
das allein verlangt nicht, daß x eine variable ist.Doch, steht da.
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Jester schrieb:
Da steckt doch jetzt ein "für alle x in Definitionsbereich mit |x-a| < ... etc.
drin. Das heißt Du wendest einen Quantor drauf an. Also muß x eine Variable sein, weil man nur Variablen quantisieren kann.man kann nicht schreiben
für alle g(x) mit |g(x) < ... etc?wo steht das nun wieder? oder fußt es nur auf einer ähnlichen übereinkunft wie der, daß man nur variablen gegen werte streben lassen kann?
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SG1 schrieb:
volkard schrieb:
für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f das allein verlangt nicht, daß x eine variable ist.
Doch, steht da.
"x-Werte" muß nicht zwingend so interprtiert werden, daß alles, was werte haben kann, auch variable sein muß.
x ist innerhalb der definition eine gebundene variable und wenn man die definition benutzt, darf man statt x auch y oder z oder g(m) schreiben.
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7 = 5 und ...
Könnt ihr eigentlich richtig schön laut rülpsen?
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volkard schrieb:
Jester schrieb:
Da steckt doch jetzt ein "für alle x in Definitionsbereich mit |x-a| < ... etc.
drin. Das heißt Du wendest einen Quantor drauf an. Also muß x eine Variable sein, weil man nur Variablen quantisieren kann.man kann nicht schreiben
für alle g(x) mit |g(x) < ... etc?wo steht das nun wieder?
Entweder fasst du hier g(x) als Variable auf oder die Aussage macht keinen Sinn.
z.B.: für alle g(x) mit g(x)>0 und x=5 (x in einem Intervall, in einer Menge,...)
jetzt müsste eine Aussage kommen, die für alle Funktionen mit obiger eigenschaft (z.B.: exp(x), x^2,...) gilt.Wenn man aber die Funktion nicht als variabel erachtet, dann macht doch die Aussage "für alle" keinen Sinn, da es nur ein g(x) gibt.
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Wenn man aber die Funktion nicht als variabel erachtet, dann macht doch die Aussage "für alle" keinen Sinn, da es nur ein g(x) gibt.
für alle sin(i) gilt: 0 <= sin(i)^2 <= 1
dabei meine ich nicht, daß sin eine beliebige funktion sein soll, sondern schon die gute alte sinusfunktion. und gebunden wird sogar die variable i. nur wollte ich nicht i allein betrachten, sondern nur sin(i).
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volkard schrieb:
Wenn man aber die Funktion nicht als variabel erachtet, dann macht doch die Aussage "für alle" keinen Sinn, da es nur ein g(x) gibt.
für alle sin(i) gilt: 0 <= sin(i)^2 <= 1
dabei meine ich nicht, daß sin eine beliebige funktion sein soll, sondern schon die gute alte sinusfunktion. und gebunden wird sogar die variable i. nur wollte ich nicht i allein betrachten, sondern nur sin(i).
Du wolltest also sagen: Für alle i gilt: sin(i) ...
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volkard schrieb:
man kann nicht schreiben
für alle g(x) mit |g(x) < ... etc?wo steht das nun wieder? oder fußt es nur auf einer ähnlichen übereinkunft wie der, daß man nur variablen gegen werte streben lassen kann?
Prädikatenlogik erster Ordnung hat ne eindeutig festgelegte Syntax. Das ist natürlich eine Übereinkunft, weil man eben diese eben treffen muß, um sich überhaupt über solche Probleme unterhalten zu können. Gemeinhin nennt man sowas dann ein Axiom.
Aus dem Aufbau dieser Syntax und der Definition vom lim ist ersichtlich, daß dort eben nur Variablen verwendet werden dürfen.
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Jester schrieb:
Du wolltest also sagen: Für alle i gilt: sin(i) ...
könnte sein.
könnte auch sein, daß man nachweisen kann, daß man damit auskommt, nur variablen in die quantoren zu stecken. aber wozu das andere verbieten und dann noch als argument nehmen, daß man auch nur variablen in den limes stecken kann?
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Jester schrieb:
Aus dem Aufbau dieser Syntax und der Definition vom lim ist ersichtlich, daß dort eben nur Variablen verwendet werden dürfen.
dann betreibe ich ab jetzt untergrundmathematik.