4. aus route und geschwindigkeit ortsvektor

aus route und geschwindigkeit ortsvektor

  • M

    Hallo leute!

    ich habe folgendes Problem:

    Gegeben ist ein differenzierbarer Vektor p(x) der eine Route bzw. eine Bahn in einem Raum beschreibt, und eine differenzierbare Funktion (kein Vektor!) v(x) die die Geschwindigkeit eines Punktes an der Position p(x) angibt. Hierbeit ist x keine Zeit!

    Jetzt suche ich einen Vektor r(t), der die Position eines Punktes auf p(x) abhängig der Geschwindigkeit von 0..x und der gefahrenen Zeit t angibt.

    Wenn die Geschwindigkeit v immer konstant ist, dann gilt ja:
    l(x) = v * t
    wobei l(x) die bogenlänge von p(0) bis p(x) angibt.
    Damit ist dann aufgrund der Umkehrbarkeit von l(x)
    x = l-1(t) / v
    und somit
    r(t) = p(l-1(t) / v)
    (ich hoffe das ist richtig 🙄 )

    Doch wie berechne ich r(t) wenn die Geschwindigkeitsfunktion nicht konstant ist?

    danke!

    Gruß mathik

    0
  • D

    mathik schrieb:

    Doch wie berechne ich r(t) wenn die Geschwindigkeitsfunktion nicht konstant ist?

    Kannst Du integrieren? Wenn nicht, dann wirf mal einen Blick in ein Buch zur Differentialrechnung.

    l = ∫ v dt

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  • M

    Daniel E. schrieb:

    mathik schrieb:

    Doch wie berechne ich r(t) wenn die Geschwindigkeitsfunktion nicht konstant ist?

    Kannst Du integrieren? Wenn nicht, dann wirf mal einen Blick in ein Buch zur Differentialrechnung.

    l = ∫ v dt

    ich kann schon integrieren, aber mir hilft dein tipp in diesem zusammenhang nicht weiter. denn, wie soll ich v nach t integrieren? Das problem ist ja, dass v _nicht_ nach der zeit beschrieben ist, d.h. v(x) gibt die geschwindigkeit an der position p(x) an, wobei x nicht die zeit ist. Ich will ja irgendwie einen funktionalen zusammenhang von t auf x herstellen, was ja bei konstanter geschwindigkeit noch machbar ist (siehe oben).

    Gruß mathik

    0
  • X

    anm:

    v(x)=x \cdot b-c$ $v(x)=\frac{dx}{dt}= x \cdot b-c \Rightarrow \frac {dx}{x \cdot b-c}=dt$ $\int \frac {dx}{x \cdot b-c} = \int dt$ usw.
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  • M

    xroads42 schrieb:

    anm:

    v(x)=x \cdot b-c$ $v(x)=\frac{dx}{dt}= x \cdot b-c \Rightarrow \frac {dx}{x \cdot b-c}=dt$ $\int \frac {dx}{x \cdot b-c} = \int dt$ usw.

    danke für den tip! allerdings verstehe ich nicht warum du schreibst:
    v(x)=dxdtv(x)=\frac{dx}{dt}

    müsste dies nicht so heißen?
    v(x)=dl(x)dtv(x)=\frac{d l(x)}{dt}

    wenn ja, dann gilt:
    dt=dl(x)v(x)⟹t=∫dl(x)v(x)dt = \frac{d l(x)}{v(x)} \Longrightarrow t = \int \frac{d l(x)}{v(x)}

    kann man jedoch hieraus schließen, dass bei umkehrbarkeit und differenzierbarkeit von l(x)l(x) und der differenzierbarkeit von v(x)v(x) für x≥0x \ge 0 das Integral ∫dl(x)v(x)\int \frac{d l(x)}{v(x)} für x≥0x \ge 0 umkehrbar ist?
    wenn nämlich nicht, dann stimmt da immer noch was nicht.... 😉

    danke!

    Gruß mathik

    0
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