Noetherscher Ring

[hi]

Ist der Ring \{f \in \mathbb{C}[[X]] | \text{f$ hat unendlichen Konvergenzradius}}$ noethersch?

wenn die Bedingung mit dem Konvergenzradius nicht wär, wäre der Ring sogar euklidisch, also Hauptidealring und damit noethersch. Wenn man nun für f,g aus dem Ring, g != 0 schreibt f = qg + r, |r| < |g| (|f| ist die euklidische Funktion, der kleinste Index, sodass der Koeffizient != 0), haben dann auch q,r unendlichen Radius?

Wenn |f| = 0 <==> f invertierbar, und f hat unendlichen Radius, dann hat doch auch f^(-1) unendlichen Konvergenzradius <-- leider nein, f kann ja Nullstellen haben die liegen allerdings (f != 0) diskret, woraus dann folgen würde, dass der RIng euklidisch ist?

[hi]

\{f \in \mathbb{C}[[X]] : f \mathrm{hat unendlichen Konvergenzradius}\}