Mittels LR-Zerlegung inverse Matrix bestimmen

[Cosmixx]

Hallo,

ich suche einen Weg, mit Hilfe der oberen und unteren Dreiecksmatrix auf die inverse einer Matrix zu kommen. Ausgangspunkt ist das Gleichungssystem Ax=b, mit Hilfe des Gaußalgorithmus kann man ja die Matrix A in A=L*R zerlegen bzw. L*R=P*A, falls eine Permutationsmatrix zum Zeilentausch usw. dabei sein muss. Nun lässt sich das Gleichungssystem mit Rx=b leicht über einsetzen ausrechnen.
Jetzt soll es aber auch möglich sein, mittels Ly=b und Rx=y die Inverse der Matrix A zu berechnen. Weiß jmd wie das geht? Es muss irgendwie mit der Einheitsmatrix und ihren Spaltenvektoren gehen, aber ich komme einfach nicht darauf. Und wenn man sucht, stößt man zur Bestimmung der Inversen nur auf andere Lösungswege, z.B. Gauß-Jordan usw.
Ich bin danbar für jede Hilfe.

[Taurin]

Löse die Gleichungssysteme $A x\_i = e\_i$, i = 1..n, wobei die $e_i$ die Einheitsvektoren darstellen. Dann gilt: $A^{-1} = (x\_1 x\_2 ... x_n)$. Um die n Gleichungssysteme zu lösen, benutzt du dann wie beschrieben die LR-Zerlegung.

[Cosmixx]

Vielen Dank. Mmmh, so hatte ich es auch probiert. Bin aber nie auf die richtige Inverse gekommen. Hab ich mich denn jedes mal verrechnet? Ich probiers nochmal aus. Muss ich am Ende die Inverse nochmal mit der Permutationsmatrix multiplizieren?

[Taurin]

Wenn du A für die LR-Zerlegung permutieren musstest, musst du die Permutation natürlich wieder rückgaängig machen. Das kannst du auch für jedes x_i einzelnd machen, oder eben für die ganze Inverse.