Basis und Dimension von Vereinigungen und Schnitten linearer Teilräume

Gerry

Hi,

ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und bin auf einen Widerspruch in meinen Unterlagen gestoßen, den ich möglichst bis 15:00 beseitigt haben sollte

"Es seien U und W die Unterräume von R⁴, die erzeugt werden durch

{(1,1,0,-1)^T, (1,2,3,0)^T, (2,3,3,-1)^T} bzw.

{(1,2,2,-2)^T, (2,3,2,-3)^T, (1,3,4,-3)^T}

Man bestime:

i) dim(U+W)
i)) dim(U∩W) "

Zunächst bestimme ich also dim(U+W), indem ich eine 6x4-Matrix aufstelle:

( 1 1 0 -1 )
( 1 2 3 0 )
( 2 3 3 -1 )
( 1 2 2 -2 )
( 2 2 3 -3 )
( 1 3 4 -3 )

Nach dem Gaußverfahren erhalte ich dann eine Matrix mit drei von Null verschiedenen Zeilen.

Genauso verfahre ich mit U und W getrennt und erhalte jeweils zwei von Null verschiedene Zeilen.

gemäß der Formel dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U∩W) ergibt sich dann dim(U∩W) = 2 + 2 - 3.

Ist das so weit richtig?

Insbesondere folgere ich jeweils aus "Rang der Matrix" ("Anzahl der Nicht-Null-Zeilen") auf die Dimension des Teilraumes.

Eine andere Aufgabe hieß aber

"Es seien U und W die Unterräume von R⁴, die erzeugt werden durch

U := {(a, b, c, d)^T ε R⁴ | b + c + d = 0}

W := {(a, b, d, d)^T ε R⁴ | a + b = 0; c = 2d}

Bei U habe ich "drei Freiheitsgrade": Ich kann a frei wählen, und außerdem b und c; d ergibt sich dann. Stelle ich aber dafür die Matrix auf,
so lautet sie doch

( 0 1 1 1 | 0 )
( 0 0 0 0 | 0 )
( 0 0 0 0 | 0 )
( 0 0 0 0 | 0 )

Eine mögliche Basis ist

/ ( 0) ( 1) (0,5) \
/ ( 1) ( 1) ( 2 ) \
\ ( 1) ( 1) ( 2 ) /
\ (-2),(-2),(-4 ) /

Aber wieso erhalte ich jetzt als Dimension DREI bei nur EINER Nicht-Null-Zeile der Matrix?

Und für den _Schnitt_ hatten wir eine Matrix aufgestellt, die alle drei Bedingungen enthält:

( 1 1 0 0 | 0 )
( 0 1 1 1 | 0 )
( 0 0 1 -2 | 0 )
( 0 0 0 0 | 0 )

dann festgestellt, dass nur ein Freiheitsgrad existiert (d ist frei wählbar, der Rest ergibt sich dann daraus) und deshalb die Dimension EINS sei...

Ich steh grad total auf dem Schlauch... kann mir bitte jemand (schnell!) helfen?

SG1

Gerry schrieb:

Zunächst bestimme ich also dim(U+W), indem ich eine 6x4-Matrix aufstelle:

( 1 1 0 -1 )
( 1 2 3 0 )
( 2 3 3 -1 )
( 1 2 2 -2 )
( 2 2 3 -3 )
( 1 3 4 -3 )

<nitpick>Dein Erzeugendensystem besteht aus Spaltenvektoren, also haette ich hier auch die Spaltenvektoren nebeneinander geschrieben. Aber funktioniert so natuerlich auch, der Rang aendert sich beim Transponieren ja nicht.</nitpick>

Ist das so weit richtig?

Insbesondere folgere ich jeweils aus "Rang der Matrix" ("Anzahl der Nicht-Null-Zeilen") auf die Dimension des Teilraumes.[/quote]

Ja, ist soweit richtig. Aber wir sollten festhalten, was fuer eine Matrix das ist: Die Zeilen der Matrix sind ein Erzeugendensystem Deines Vektorraums.

Eine andere Aufgabe hieß aber

"Es seien U und W die Unterräume von R⁴, die erzeugt werden durch

U := {(a, b, c, d)^T ε R⁴ | b + c + d = 0}

W := {(a, b, d, d)^T ε R⁴ | a + b = 0; c = 2d}

Bei U habe ich "drei Freiheitsgrade": Ich kann a frei wählen, und außerdem b und c; d ergibt sich dann. Stelle ich aber dafür die Matrix auf,
so lautet sie doch

( 0 1 1 1 | 0 )
( 0 0 0 0 | 0 )
( 0 0 0 0 | 0 )
( 0 0 0 0 | 0 )

Hier hast Du jetzt ein Gleichungssystem als Matrix geschrieben. Das ist natuerlich was anderes als oben. Hier gilt: Die Dimension des Loesungsraums ist gleich der Dimension des Kerns.

Eine mögliche Basis ist

/ ( 0) ( 1) (0,5) \
/ ( 1) ( 1) ( 2 ) \
\ ( 1) ( 1) ( 2 ) /
\ (-2),(-2),(-4 ) /

Und wenn Du das jetzt als Matrix interpretierst, und wieder Gauss anwendest, kommen wieder 3 unabhaengige Zeilen raus.

Gerry

Hallo,

vielen Dank für Deine schnelle und ausführliche Antwort, jetzt macht es Sinn.

Nur noch zur Sicherheit: Wenn ich ein Gleichungssystem als nxn-Matrix schreibe, dann ist die Dimension des Kerns gleich der Anzahl der Nullzeilen, oder? Und diese ist dann wiederum gleich der Anzahl der Basis-Vektoren?

Als Beispiel: Wenn in der zweiten Aufgabe für U meinetwegen 10 weitere, aber linear abhängige Bedingungen angegeben gewesen wären, so in etwa:

U := {(a, b, c, d)^T ε R⁴ | b + c + d = 0; 2b + 2c + 2d = 0; 3b + 3c + 3d = 0; ...}

dann stelle ich wieder zunächst eine Matrix auf, die als Zeilen die genannten Bedingungen und als Spalten a, b, c, d enthält. Die wäre ja dann 10x4. Nach dem Gauß-Verfahren schau ich mir aber nur den 4x4-Teil an: Der hat dann wieder drei Nullzeilen, also wieder drei Freiheitsgrade...

Stimmt das?

SG1

Jo, so ists richtig.