Brauche Hilfe beim Cauchy kriterium

Hallo,

ich verstehe leider nicht wie man das Cauchy Kriterium anwendet.

Ich habe folgende Definition gefunden:

(Konvergenzkriterium von Cauchy). Eine Folge komplexer Zahlen
(an) n Element N ist genau dann konvergent, wenn
Für alle e > 0 Existiert ein n0 Element N Für alle p, q => n0 : |ap − aq| < e .

Ich habe es so verstanden, dass man zeigt, dass der Abstand zwischen 2 Folgengliedern sozusagen beliebeig klein wird.
Mein Problem ist aber, das Kriterium anzuwenden.

Als erstes steht da es existiert für alle e >0.
Wie zeige ich das? Oder schreibe ich einfach e>0 hin?

Zweitens steht da es existiert ein n0, was fange ich damit an?

Drittens steht da für alle p,q => n0: |ap -aq| <e.
Wie zeigt man sowas für ALLE p,q?

Wie geht man also generell vor wenn man das Kriterium anwenden will?
(Könnt ihr mir das an einem Beispiel erklähren)

Ich habe auch schon Google benutzt, aber finde immer nur die Definition, aber keine Erklärung, wie man damit intuitiv umgeht.

MfG
MisterX

Ich habe im Internet als bBeispiel diese Folge gefunden
A(n) = 2^n*n(-2) .

Aber leider verstehe ich nicht wie man jetzt an diese Aufgabe rangeht.

Ponto

Wie hast du den Beweise zur Stetigkeit von Funktionen gemacht?

Du nimmst ein beliebiges Epsilon. Deshalb fangen sehr viele Beweise in der Analysis mit "Sei e > 0 ..." an. Dann berechnest du für dieses Epsilon ein N_0 aus, ab demm die Bedingung gilt. Da dein Epsilon beliebig war, gilt das dann für alle Epsilons.

Hi,

das Cauchy-Krit. hat eher eine theoretische Bedeutung. Wenn du
aber trotzdem damit zeigen willst/ must, dass eine Folge konvergiert/Cauchy-Folge
ist, dann ist der Widerspruchbeweis meisten erfolgsversprechend:

Annehmen es gibt ein Ausnahme-eps mit |ap-aq| > eps für alle p,q.
Anhand dieses festen eps kannst du dann ein N bestimmen und einen
Widerspruch herbeiführen.

Jockel

Taurin

Oder durch Abschätzen und geschicktes Wählen von $n_0$ .

Beispiel: $a_n = \frac{1}{n}$ ist eine Cauchy-Folge.

Bew.: Sei $\epsilon > 0, n\_0 = n\_0(\epsilon) > \frac{1}{\epsilon}$
$|a\_p - a\_q| = |\frac{1}{p} - \frac{1}{q}| < |\frac{1}{n\_0} - n\_0| < \epsilon - \frac{1}{\epsilon} < \epsilon$

elise

hallo

für konkreteres haben wir das
wurzelkriterium, quotientenkriterium, minoranten/majorantenkriterium und leibnizkriterium genutzt

http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium
http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium
http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium
http://de.wikipedia.org/wiki/Leibnizkriterium

asmodis

@elise: Das sind aber keine Kriterien für Folgen, sondern für Reihen.

Hallo nochmal, wir haben nur dieses Skript hier
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsv/lehre/ws200506/mafi/Skript090206.pdf

Dieses Folgen und Reihenthema ist ganz am Ende.
Aber z.B Stetigkeit habe ich garnicht gefunden.

Was davon ist den eher für den Konkreten Beweis zu gebrauchen (Ich finde es immer toll, das der Prof das nicht erzählt)

Ich würde gerne mal ein konkretes Beispiel sehen, wie man eine etwas kompliziertere Folge wie diese untersucht:´
A(n) = 2^n*n(-2)

Mit einem Kriterium, das auch in meinem Skript steht.
(Und es geht nicht um Hausaufgaben oder sowas, da jetzt schon Semesterferien sind)

MfG
MisterX

Taurin

Ich hab jetzt keine Lust, dein Skript in Gänze zu lesen, um rauszufinden, was du alles gemacht hast. Die Folge $a_n = \frac{2^n}{n^2}$ konvergiert für n → ∞ gegen unendlich. z.B. weil...
(1) ...die Exponentialfolge schneller wächst als jedes Polynom
(2) ...man zwei mal die Regel von l'Hospital anwenden kann

elise

asmodis schrieb:

@elise: Das sind aber keine Kriterien für Folgen, sondern für Reihen.

jep. nicht nachgedacht.