eigenvektor

Hallo liebes Forum.. habe schonmal gesucht und auch was zu eigenvektor gefunden aber das hat mir irgendwie nicht wirklich weiter geholfen deswegen frage ich nochmal explizit hier nach..

nehme mal als Bsp folgende Matrix:

0 1 1
1 0 1
1 1 0

brauch ja zu erst das charakteristische Polynom wenn ich das richtig verstanden habe.. also det(A-lamda*E) wobei E einheitsmatrix is... dann habe ich zu stehen:
-lamda 1 1
1 -lamda 1 )
1 1 -lamda

nach Sarrus komme ich auf:
(L := lambda)

L³ - 3L - 2

dann suche ich wenn ich das richtig verstanden habe die Vektoren die die Vektoren der Matrix(also die Spalten) auf 0 schickt.. also den Kern.

ergo nullstellen: naja erste rate mich teiler von abseluten...
L₁ = 2
dann ne Polynomendivision:

(L³ - 3L - 2) : (L-2) = L²+2L]+1

Mitternachtsformel gibt mir
L₂ = - 1
L₃ = -1

Auf Wikipedia hab ich gelesen das L = -1 die Vielfachheit 2 besitzt ... da komme ich auch noch mit.. ja und dann brauch ich noch die eigenvektoren..

weil ich ja die Vektoren haben will die auf Nullvektor geschickt werden stelle ich folgende gleichung auf:

-lamda 1 1
1 -lamda 1 * Vektor = Nullvektor
1 1 -lamda

dann setze ich die Lamdas ein

gibt bei L = 2

-2 1 1
1 -2 1
1 1 -2

und dann? -.-

waere fuer eine step by step hilfe dankbar...

exa

asmodis

Du erhälst nun ein Lineares Gleichungssystem Ax = 0, das du lösen musst
(wobei A deine letze Matrix ist). Die Lösung für x ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 2.

lustig

Also vielleicht noch ein Bsp.
Ich nehme mal den Eigenwert -1:
Das gibt die Matrix:

1 1 1
1 1 1 = A
1 1 1

Nun mit Gauss das Gleichungssystem Ax=0 lösen (wie Asmodis gesagt hat):

1 1 1
0 0 0
0 0 0

Jetzt suchst du die Vektoren, die das Gleichungsystem erfüllen. Da zwei Zeilen 0 geworden sind, hast du 2 lin. unabhängige Vektoren. Z.B.
(0,1,-1) und (1,0,-1).
Das wären also Eigenvektoren für den Eigenwert 2. Diese Eigenvektoren spannen den sog. Eigenraum auf.
Das ist natürlich nicht die einzige Möglichkeit für die Eigenvektoren, du kannst irgend eine Basis des Eigenraums nehmen. Z.B. auch vielfache dieser Vektoren oder Linearkombinationen (hoffentlich verwirrt das nicht ;)).

Ich hoffe das nützt dir ein bisschen was...

lustig

Jester

Vielleicht noch als Ergänzung, warum da nun die Eigenvektoren rauskommen:

Du löst doch (A-L*E)*x = 0.
Da kommt natürlich nur was außer 0 raus, wenn det(A-L*E)=0 ist, da diese Matrix sonst ja vollen Rang hat. Jetzt nehmen wir an, Du hast so nen Eigenwert und die zugehörige Lösunt x berechnet, das heißt obiges LGS ist gelöst. Dann gilt:

0 = (A-L*E)*x = A*x - L*E*x = A*x - L*x => A*x = L*x.

Vielleicht klärt das ein bißchen warum man das so berechnen kann.

MfG Jester

joar nu hats auch der letzte ( also ich .. ) gefressen... vielen dank...

ps: jetzt wo ichs kann isses echt easy.. -.-