Bild einer Matrix

Andreas XXL

Hallo, ich soll das Bild einer Matrix bestimmen

(1 0 1 0)
(1 0 0 1)
(0 1 1 0)
(0 1 0 0)
(1 1 1 1)

Ich soll das Bild so angeben:

(  )  ( )
<  (  )  ( )       >
   (  )  ( ) 
   (  ), ( ) ...
   (  )  ( )

Natürlich könnte ich jetzt einfach alle 4 Spaltenvectoren so angeben und hätte das Bild definiert (so denke ich mir des jedenfalls)

Das problem ist nun aber, dass die Angabe durch linear unabhängige Spaltenvectoren erfolgen soll.

Ich habe mir schon gedacht, dass ich das homogene lineare Gleichungssystem betrachte. Wenn es nicht nur die triviale Lösung gibt, ist mindestens ein Spaltenvector unnötig (ich hoffe das richtig)

Aber wie bestimme ich WELCHER Spaltenvector unnötig ist?
(Jede Kombination auszuprobieren, jeden Spaltenvector mit den anderen Spaltenvectoren darzustellen dauert zu lange)

Daniel E.

Andreas XXL schrieb:

Aber wie bestimme ich WELCHER Spaltenvector unnötig ist?
(Jede Kombination auszuprobieren, jeden Spaltenvector mit den anderen Spaltenvectoren darzustellen dauert zu lange)

Du kannst auf deine Darstellungsmatrix elementare Spaltenoperationen ausführen und somit Nullspalten erzeugen (oder die Matrix transponieren und dann Zeilenoperationen drauf ausführen, weil man Zeilenoperationen quasi andressiert bekommt). Die Darstellungsmatrix bringst Du so auf Dreiecksform; die so neu entstandenen Spalten (Zeilen) sind alle durch Linearkombination aus den ursprünglichen Vektoren hervorgegangen, also kannst Du die jetzt auch in benutzen um den Vektorraum des Bildes aufzuspannen.

Andreas XXL schrieb:

Aber wie bestimme ich WELCHER Spaltenvector unnötig ist?
(Jede Kombination auszuprobieren, jeden Spaltenvector mit den anderen Spaltenvectoren darzustellen dauert zu lange)

bei so einen beispiel durch hinschauen...

Andreas XXL

Danke @ Daniel E.

dim(kern)+dim(bild) schrieb:

Andreas XXL schrieb:

Aber wie bestimme ich WELCHER Spaltenvector unnötig ist?
(Jede Kombination auszuprobieren, jeden Spaltenvector mit den anderen Spaltenvectoren darzustellen dauert zu lange)

bei so einen beispiel durch hinschauen...

Es ist doch immer besser etwas allgemein zu verstehen (was ich jetzt habe) als an einem bestimmten Beispiel durch "hinschauen".