bundeswettbewerb mathematik

Havoc

so, jetzt wo der einsendeschluss vorbei ist, kann man ja mal drüber reden.
hat jemand mitgemacht?
irgendwelche interessanten lösungen?
oder vielleicht hat ja auch jemand lust, jetzt noch drüber nachzudenken...

hier sind die aufgaben:

http://www.bundeswettbewerb-mathematik.de/aufgaben/pdf/aufgaben/aufgaben_06_1.pdf

+++SPOILER+++

also, hier schonmal zwei lösungsvorschläge von mir:

1. Aufgabe: 1. Zahl: 2005 1er gefolgt von 223 9ern
2. Zahl: 2004 1er dann eine 2 dann 223 0er

2. Aufgabe: schon bei der anfangsgleichung sieht man, dass x und y jeweils beide gerade oder ungerade sein müssen (damit auf der linken seite was grades steht, rechte seite ist immer gerade wegen *4)

weiterhinhin kann man so umformen:

(x+y)*(x^2-5xy+y2)=4;

daraus ergeben sich 6 fälle, da die beiden faktoren, die 4 ergeben sollen auch nur ganzzahlig sein können, also sind die möglichen lösungen für (faktor1,faktor2):
(-1,-4)
(-4,-1)
(-2,-2)
(2,2)
(1,4)
(4,1)

davon fallen vier weg, wegen der oben genannten bedingung, bleiben also noch zwei übrig, welche man dann einfach über eine lösung des sich aus ihnen ergebenden gleichungssystems widerlegen kann. vielleicht nicht sehr elegant, aber was solls...

So, ihr seid dran...

3. c² + 2ab >= c² + 2abcosg = a² + b² > 5c² ==> ab > 2c². Dreiecksungleichung a + c > b ergibt a² + ac = a(a+c) > 2c² ==> (a+c)(a-c) = a² - c² > c(c-a), also a>c, analog für b.

4. 1699