4. Newton Interpolation

Newton Interpolation

  • S

    Ich habe 5 Punkte und möchte eine Interpolationsfunktion finden.
    So ganz normal mit alles ins Gleichungssystem packen und dann auflösen hab ich es auch schon geschafft, eine Polynominterpolation zu machen, aber jetzt möchte ich das auch mit der Newton Methode schaffen.

    Die Punkte sind:
    p(-2)=2 p(-1)=0 p(0)=1 p(1)=0 p(2)=2
    Die Funktion:
    p(x)=1-(17/5)*x2+(12/5)*x4

    Aber wie mach ich das jetzt mit Newton??
    Das habe ich in in einem Buch gefunden: ([...]=tiefgestellt)

    ISBN 3-343-00812-5 schrieb:

    Setzt man das Interpolationspolynom p[n](x) nicht in seiner Normalform, sondern in einer auf Newton zurückgehenden Gestalt

    N[n](x)=c[0] + c[1](x-x[0]) + c[2](x-x[0])(x-x[1]) + ... + c[n](x-x[0])(x-x[1])...(x-x[n-1])

    an, so lassen sich dessen Koeffizienten c[0], c[1], ... wesentlich leichter bestimmen.

    Kann mir wer erklären, wie ich diese Formel jetzt konkret auf mein Beispiel anwende?

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  • D

    Ich lasse mal die Nummerierung so, wie Du sie gemacht hast, also ist p(-2)=2 der erste Punkt, also x[0]=-2, x[1]=-1, x[2]=0, x[3]=1, x[4]=2 ...

    Jetzt erkennt man, daß für N(x[0]) alle Summanden bis auf einen den Faktor (x-x[0]) beinhalten, also hier 0 sind, also ist c[0] = 2, weil N(x[0])=2. Für N(x[1]) kannst Du nach dem gleichen Prinzip jetzt c[1] bestimmen, weil wieder alle Summanden außer c[0] und c[1]*(x-x[0])=0 werden usw. Du kannst dir dafür ein Gleichungssystem hinschreiben, daß bequemerweise direkt Dreiecksform hat.

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  • S

    ok, ich hab das mal so probiert:

    p(-2)=2, p(-1)=0, p(0)=1, p(1)=0, p(2)=2
x[0]=-2, x[1]=-1, x[2]=0, x[3]=1, x[4]=2

N[n](x)=c[0] + c[1](x-x[0]) + c[2](x-x[0])(x-x[1]) + ... + c[n](x-x[0])(x-x[1])...(x-x[n-1])

N(x[0])=c[0] + c[1](x[0]-x[0]) + c[2](x[0]-x[0])(x[0]-x[1]) + c[3](x[0]-x[0])(x[0]-x[1])(x[0]-x[2]) + c[4](x[0]-x[0])(x[0]-x[1])(x[0]-x[2])(x[0]-x[3])
	= [b]c[0] = 2[/b]

N(x[1])=c[0] + c[1](x[1]-x[0]) + c[2](x[1]-x[0])(x[1]-x[1]) + c[3](x[1]-x[0])(x[1]-x[1])(x[1]-x[2]) + c[4](x[1]-x[0])(x[1]-x[1])(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])
	= 2 + 1c[1] = 0 -> [b]c[1] = -2[/b]

N(x[2])=c[0] + c[1](x[2]-x[0]) + c[2](x[2]-x[0])(x[2]-x[1]) + c[3](x[2]-x[0])(x[2]-x[1])(x[2]-x[2]) + c[4](x[2]-x[0])(x[2]-x[1])(x[2]-x[2])(x[2]-x[3])
	= 2 -2*2 + c[2]*2*1
	= -2 +2c[2] = 1 -> [b]c[2] = 3/2[/b]

N(x[3])=c[0] + c[1](x[3]-x[0]) + c[2](x[3]-x[0])(x[3]-x[1]) + c[3](x[3]-x[0])(x[3]-x[1])(x[3]-x[2]) + c[4](x[3]-x[0])(x[3]-x[1])(x[3]-x[2])(x[3]-x[3])
	= 2 -2*3 + (3/2)*3*2 + c[3]*3*2*1
	= -4 + 9 + 6c[3] 
	= 5 + 6c[3] = 0 -> [b]c[3] = -(5/6)[/b]

N(x[4])=c[0] + c[1](x[4]-x[0]) + c[2](x[4]-x[0])(x[4]-x[1]) + c[3](x[4]-x[0])(x[4]-x[1])(x[4]-x[2]) + c[4](x[4]-x[0])(x[4]-x[1])(x[4]-x[2])(x[4]-x[3])
	= 2 -2*4 + (3/2)*4*3 -(5/6)*4*3*2 + c[4]*4*3*2*1
	= 2 - 8 + 18 - 20 + 24c[4]
	= -8 + 24c[4] = 2 -> [b]c[4] = 5/12[/b]

    Aber ich sehe da irgendwie nicht den Zusammenhang zwischen den c's und den Koeffizienten der Polynomgleichung... und was hat es mit der Dreiecksform auf sich 😕

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  • F

    http://www.ifam.uni-hannover.de/~leydecke/numa1_ws05/numa.pdf (siehe dividierte Differenzen)

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  • S

    Ich habe es nicht verstanden o_O

    Ich gebe zu, es sieht nach einem Dreieck aus, aber was wird da jetzt gemacht? (Ich glaube die Erklärung ist nicht für Schüler wie mich vorgesehen...)

    Kann das vielleicht mal wer mit meinem Beispiel vorrechnen? Oder wenigstens den Anfang, damit ich es weitermachen kann?

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  • F

    Also, als erstes schreibst du die x- und y-Werte so in zwei Spalten auf

    011.522.524.51{ \small \begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1.5 & 2 \\ 2.5 & 2 \\ 4.5 & 1 \end{array} }

    Dann kannst du mit Hilfe der dividierten Differenzen die nächste Spalte berechnen:
    2−11.5−1=0.666,2−22.5−1.5=0,1−24.5−2.5=−0.5{ \small \frac{2-1}{1.5-1}=0.666, \frac{2-2}{2.5-1.5}=0, \frac{1-2}{4.5-2.5}=-0.5 }.
    Das gleiche dann noch mal:
    0−0.6662.5−0=−0.266,−0.5−04.5−1.5=−0.1666,1−24.5−2.5=−0.5{ \small \frac{0-0.666}{2.5-0}=-0.266, \frac{-0.5-0}{4.5-1.5}=-0.1666, \frac{1-2}{4.5-2.5}=-0.5 }.
    Die letzte Zahl ergibt sich dann analog zu:
    −0.166+0.26664.5−0=−0.022{ \small \frac{-0.166+0.2666}{4.5-0}=-0.022 }.

    Die Zahlen oben in dem Dreieck (in dem Beispiel unterstrichen) ergeben dann deine Koeffizienten für das Polynom.

    Ich hoffe, ich habe keine C&P-Fehler gemacht.

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  • S

    Also, als erstes schreibst du die x- und y-Werte

    Ich finde deine x und y werte nirgendwo in meiner Rechnung o_O
    Das sind ja anscheinend nicht die von den 5 Punkten. Woher also kommen die?

    Und abgesehen davon... wtf? Man subtrahiert willkürlich Zahlen und teilt sie durch andere und bekommt dann sachen wie ( 1- / 4.5- ) raus? (mittlere Rechnungszeile)

    Tut mir Leid wenn das jetzt dumme Fragen sind, aber ich verstehe es wirklich nicht 😞

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  • F

    snOOfy schrieb:

    Also, als erstes schreibst du die x- und y-Werte

    Ich finde deine x und y werte nirgendwo in meiner Rechnung o_O
    Das sind ja anscheinend nicht die von den 5 Punkten. Woher also kommen die?

    Die Rechnung bezieht sich auf das Beispiel 1.1.6 aus dem Skript, zu dem ich weiter oben den Link gepostet habe!

    Bei deinem Beispiel wären das natürlich:
    -2 2
    -1 0
    0 1
    1 0
    2 2

    snOOfy schrieb:

    Und abgesehen davon... wtf? Man subtrahiert willkürlich Zahlen und teilt sie durch andere und bekommt dann sachen wie ( 1- / 4.5- ) raus? (mittlere Rechnungszeile)

    Tut mir Leid wenn das jetzt dumme Fragen sind, aber ich verstehe es wirklich nicht 😞

    Das ist ein Formatierungsproblem, klick mal auf zitieren und guck dir an, was genau da gemacht wird, dann müßtest du die Rechnung auch nachvollziehen können ...

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