Fehlerrechnung
-
Hi!
Unser Lehrer kann uns da auch nicht helfen, wie rechnet man den Fehler für folgende Gleichung aus:
delta_t, delta_R, delta_U, delta_I sind gegeben
C &=& - \frac{t}{R * ln( \frac{IR}{U})}
-
einfach mit fehlerfortpflanzung? http://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfortpflanzung
also, nach jeder variable ableiten:\Delta C &=& \sqrt{ (\Delta t \frac{t}{R \cdot ln(\frac{IR}{U})})^2 + (\Delta I \frac{t}{IR(ln( \frac{IR}{U})^2}))^2 + ...}(keine ahnung, ob die ableitungen richtig sind...
-
Du must alle Fehlerquellen brücksichtigen.
Also alle Werte die du mist.
-
Dafür gibt's einen netten Trick "Differenzieren nach Logarithmieren", wodurch die Bildung der Ableitungen zumeist einfacher wird als mit der gewaltsamen Methode der direkten Ableitung.
Die Wurzel hier macht's nämlich unschön...
Zunächst müssen wir aber das garstige Minus wegbekommen, das packen wir in den ln rein:
C &=& \frac{t}{R * ln( \frac{U}{IR})}
Danach logarithmieren wir beide Seiten (alle Terme sind positiv):
ln C &=& ln \frac{t}{R * ln( \frac{U}{IR})}
Jetzt kommt die Ableitung, man macht sich dabei zu Nutze, daß gilt
(ln x)' &=& \frac{1}{x}
Also wird das zu
ln C &=& ln t - ln R - ln ln \frac{U}{IR}
Jetzt fangen wir an zu differenzieren:
\frac{dC}{C} &=& \frac{dt}{t} - \frac{dR}{R} - Rg(U, I, R)
Ach, das Restglied ist bißchen unschön, weil ln von ln, aber man kann's aufteilen:
Rg(U,I,R) &=& \frac{1}{ln \frac{U}{IR}} * \frac{1}{\frac{U}{IR}} * \frac{1}{IR} * dU + ...
Für I und R sieht alle die letzte Ableitung anders aus, aber das killt mich in Latex jetzt das zu schreiben.
Jetzt ersetzen wir alle dx durch Δx und haben sofort die relativen Fehler, danach noch überall Betragsstriche drum und + statt Minus, fertig ist die Fehlerabschätzung.
Das ist natürlich nix für Leute mit schwachem Magen...
-
danke marc++us
das sieht schon ganz gut aus, werds mal für die anderen Variablen durchrechnen
-
Marc++us ist ein Tier
-
Marc++us schrieb:
Jetzt fangen wir an zu differenzieren:
\frac{dC}{C} &=& \frac{dt}{t} - \frac{dR}{R} - Rg(U, I, R)
nach was leitest du hier nochmal ab?
-
Totales Differential, ich leite alles nach allem ab... und da in einigen Ausdrücken der Summand nur von einer Variable abhängt, werden die partiellen Ableitungen dann zu 0, und fallen sofort raus.
D.h. ich leite eigentlich ln C nach C, t, R, U, I ab, aber übrig bleibt nur dC/C. Deswegen bekomme ich auch das Restglied, das muß ich nach U, I und R ableiten (die Ableitungen nach t und C sind ebenfalls 0).
-
und wo ist jetzt der vorteil zur regel "bei produkten und quotienten summieren sich die relativen fehler" ?
-
Der Vorteil ist? Die von Dir genannte Regel gilt nicht fuer Funktionen wie ln, Wurzeln, etc.
-
Marc++us-logoff schrieb:
Der Vorteil ist? Die von Dir genannte Regel gilt nicht fuer Funktionen wie ln, Wurzeln, etc.
ach so, ja, weil der ln-term und die produkt-terme nicht unabhängig sind. alles klar.