Beweis einer Ungleichung

hallo,

wie beweist man eine ungleichung? mein mathematikwissen liegt seit ca. 10 jahren brach und ich bräuchte einfach mal nen tipp um wieder reinzukommen... Ich kann mit dem Begriff "Beweis" nicht so recht was anfangen und bin mir nie sicher, ob das was ich aufschreibe schon der Beweis ist oder nur ein Teil davon.

gezeigt werden soll, dass folgendes gilt:

a, b sind positiv und Element von R

$(a+b)^{3} \le 4(a^{3}+b^{3})$

wenn ich das umforme, komme ich auf folgendes:
$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} \le 4(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

das ist? noch richtig?
$3a^{2}b+3ab^{2}+(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) \le 4(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

$3ab(a+b) \le 4(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

$ab \le a^{2}-ab+b^{2}$

und schließlich zu...
$0 \le (a-b)^{2}$

Schlußfolgerung: Das Quadrat einer Zahl ist ja immer positiv. Daher ist auch
$(a+b)^{3} \le 4(a^{3}+b^{3})$
positiv.

Stimmt das so? Ist das das Beweis?

wo das "noch richtig" steht, hat er was beim latex unterschlagen... die rechte seite ist identisch mit der in der darüberliegenden zeile...

Dommel

Ich kenn mich mit Beweisen zwar auch noch nicht so gut aus, aber ich denke, dass deine Rechnung und damit auch der Beweis stimmt.

Du hast nur in der 4. Zeile nen Schreibfehler. Da müsste auf der rechten Seite
$3(a+b)...$
stehen. Aber du hast ja richtig weitergerechnet.

Da die letzte Zeile ja eindeutig richtig ist, sind es alle anderen (und somit auch die Ausgangsungleichung) auch.

Jan

Dann solltest du den Beweis am besten noch mit der letzten Zeile beginnen, denn das ist ja eine offensichtlich richtige Aussage. Und dann die Rechnung genau andersrum, bis du bei der Ungleichung bist, die du beweisen wolltest.

danke euch.

der fehler in der 4. zeile hat sich beim abtippen (copy+paste der rechten seite) eingeschlichen...

@jan also einmal die rechnung so wie sie jetzt ist und noch einmal rückwärts als probe quasi?

Beweisführer schrieb:

@jan also einmal die rechnung so wie sie jetzt ist und noch einmal rückwärts als probe quasi?

nein. beim letzten anfangen und zum ersten vorarbeiten. das reicht schon, weil du dann von einer wahren aussage ausgehst. und aus einer wahren aussage kann man nur wahre schlüsse ziehen.

andersrum muss der beweis nicht richtig sein, denn du kannst aus einer falschen aussage eine wahre folgern. (in deinem fall gerade nicht, weil du nur äquivalenzumformungen machst, dann musst du das aber auch mit dem entsprechenden "<=>"-zeichen deutlich machen.)

Jester

Ne, im Moment fängst Du mit der Aussage an und leitest daraus was her, das ist nicht so schön, weil Du ja erst beweisen willst, daß die Aussage korrekt ist.

Schöner ist es, wenn Du mit was korrektem anfängst und dann dauraus herleitest, daß die Aussage korrekt ist.

Am einsichtigsten ist der Beweis vielleicht, wenn Du in der Mitte anfängst, Du zeigst erst: a^2*b+a*b2 <= a^3 + b^3 (das ist die zweite Hälfte Deines Beweises).

Dann fängst Du vorne an:

(a+b)^3 = a^3+3a2b + 3ab^2 + b^3 = a^3+3*(a2b+b^2a)+b3 <=(siehe oben) a^3+3*(a3+b^3) + b^3 = 4*(a^3+b3).

[quote="Beweisführer"]hallo,

wie beweist man eine ungleichung?
Schau mal in Goolgle unter "Vollständiger Induktion" nach...
Viel Spaß!

[quote="cico2006"]

Beweisführer schrieb:

hallo,

wie beweist man eine ungleichung?
Schau mal in Goolgle unter "Vollständiger Induktion" nach...
Viel Spaß!

Vollständige Induktion nützt einem hier leider überhaupt nichts, da a,b in R und nicht in N liegen.

[quote="Jester_logged_out"]

cico2006 schrieb:

Beweisführer schrieb:

hallo,

wie beweist man eine ungleichung?
Schau mal in Goolgle unter "Vollständiger Induktion" nach...
Viel Spaß!

Vollständige Induktion nützt einem hier leider überhaupt nichts, da a,b in R und nicht in N liegen.

Das kommt davon wenn man nicht alles liest
In dem Fall hast du recht Jester...