Grenzwert
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Blodøks schrieb:
Danke für die schnelle Antwort und die schicken Beispiele.
Und zwar geht es hierbei um die Länge einer Küstenlinie und die Funktion hab ich selbst aufgestellt, um damit die unendliche Länge zu beweisen. k ist hierbei die Anzahl der Strecken, die gemeinsam mit dem streben der Länge der Einzelstrecken (n) logischerweise gegen ∞ strebt.
Also wäre lim (n->0) (lim (k->unendl.) n*k) auch denkbar und wenn ich mich jetzt nicht irre, sollte es sogar die gesuchte Lösung ergeben.bei dir hängt n von k ab. du musst also schreiben lim( k-> ≈) ( n(k)*k )
dann hast du nur eine variable und kannst den grenzwert bestimmen.
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Blodøks schrieb:
k ist hierbei die Anzahl der Strecken, die gemeinsam mit dem streben der Länge der Einzelstrecken (n) logischerweise gegen ∞ strebt.
Also wäre lim (n->0) (lim (k->unendl.) n*k) auch denkbar und wenn ich mich jetzt nicht irre, sollte es sogar die gesuchte Lösung ergeben.also für mich weist das, was du beschreibst, große ähnlichkeiten zum integral auf.
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avs sdfk aösd fladsproeür schrieb:
bei dir hängt n von k ab. du musst also schreiben lim( k-> ≈) ( n(k)*k )
dann hast du nur eine variable und kannst den grenzwert bestimmen.Hm, kann man das wirklich als Abhängigkeit bezeichnen? Denn wenn man einen kleineren Wert für n wählt, um die Küste zu vermessen, so wird die Anzahl an Strecken, die benötigt werden, überproportional mehr, denn dann können mehr Verwinklungen der Küstenlinie erfasst werden und das ist dann auch der Grund warum ich nicht verstehe, wie mir ein Integral hier helfen könnte. :s
Danke weiterhin für die bisherige und hoffentlich noch folgende Hilfe!
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Okay, ein Grenzwert zum beschreiben des Gesamten war vielleicht nicht so ganz die beste Wahl ist mir gerade aufgefallen. Wenn man überlegt, dass die Strecke durch die Punkte A und A+h bestimmt wird, so ist die Länge der Strecke bei h->0 = A. Somit ist die Strecke nur noch ein Punkt und da bekannt ist, dass eine auf jeder Linie beliebiger Menge unendlich viele Punkte sind, ergibt sich hieraus meine gesuchte Lösung.
Könnte man das so in der Art als Beweis durchgehen lassen? _
Danke für alles
Gruß
Blod☼ks
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Blodøks schrieb:
Könnte man das so in der Art als Beweis durchgehen lassen? _
nein, gerade nicht. sonst wäre jede beliebige linie unendlich lang. und das ist sie (erfahrungsgemäß) nicht. und bei deiner fraktalen küste kann es auch durchaus sein, dass sie einen endlichen grenzwert hat. das hängt eben davon ab, in welchem maße die gemessene länge mit der anzahl der messpunkte zusammenhängt.
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Hmm, vielleicht hilft dir hier die fraktale Geometrie weiter:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fraktale_Dimension
http://www.math.tu-cottbus.de/~froehner/sonstiges/skripte/node10.html
http://www.culture.hu-berlin.de/ck/lehre/seminare/chaostheorie/node8.html
http://www.culture.hu-berlin.de/ck/lehre/seminare/messen/horaczek.html
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Hm, den Begriff "Beweis" hab ich glaub ich nen bissel zu schwammig benutzt. Ich will jediglich zeigen, dass nicht möglich ist, eine Küstenlänge mit Hilfe von Vermessungen genau zu bestimmen und das dann auf den Umfang eines Fraktals beziehen. Die fraktale Dimension der Küstenlinie wollte ich hierbei aber nicht betrachten, sondern, wie gesagt, die Länge.
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Das hängt aber auch stark von der Küstenform ab. Wenn die Küstenform ne Gerade oder ne Parabel oder meinetwegen ne Bezierkurve mit nem aufmodulierten Sinus oder sowas ist, dann wird das wohl rektifizierbar sein, also ne endliche Länge haben.
Deine Werte n und k sind voneinander nicht unabhängig. Also darfst Du sie auch nicht getrennt laufen lassen, sondern nur zusammen. Beispiel: (1+1/n)^n. Da kommt für n->unendl. e raus, läßt man aber nur innen resp. nur außen laufen, dann erhält man 0 resp. unendl.
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Wie kann denn eine reale Küstenlinie eine exakte Parabelform aufweisen? Und wenn ich beiden Faktoren voneinander abhängig betrachte, so ist der Grenzwert doch bei der Fragestellung eine Sache der Auslegung. Ich kann entweder sagen lim {n->0} [n*k(n)] = 0 oder lim {k->∞} [n(k)*k] = ∞
Aber es gilt ja zu beweisen, dass eine Küstenlinie mit immer kleinstufigerer Vermessung gegen ∞ strebt.
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Blodøks schrieb:
Und wenn ich beiden Faktoren voneinander abhängig betrachte, so ist der Grenzwert doch bei der Fragestellung eine Sache der Auslegung. Ich kann entweder sagen lim {n->0} [n*k(n)] = 0 oder [...]
Nein. Ersetze k(n) durch 1/n. Schon ist der Grenzwert n->0 nicht mehr 0, sondern 1. Solange du die Abhängigkeit k(n) nicht kennst, kannst du über den Grenzwert nichts aussagen.
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Oh ja, danke.. :s
Also könnte ich, um das ganze allgemein auszudrücken lim {n->0} [ n * k(n) ] = ∞, wenn ich k(x)=1/x^i; i>1 definiere.
Andersrum ist lim {k->∞} [k * n(k)] = ∞, wenn n(x)=x^(-1/i);i>1 .
Das muss jetzt aber stimmen.. _
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der erste limes geht gegen null aussedem kann ich mir garnicht vorstellen das ein realer küstenabschnitt ohne doppeltmessungen eine unendlich lange küstenlienie haben kann selbst wenn man alle atome misst aus denen die linie besteht wäre die strecke endlich
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Blodøks schrieb:
Wie kann denn eine reale Küstenlinie eine exakte Parabelform aufweisen?
Das ist unerheblich. Nur Deine Voraussetzungen schließen diesen Fall nicht aus. Also kannst Du damit auch nicht die gewünschte Aussage folgern.
@ga: fraktale Gebilde können sehr wohl unendlich lang sein.
Afaik ist auch x*sin(1/x) zum Beispiel nicht rektifizierbar, hat also keine endliche Länge zum Beispiel im Intervall [-1,1]MfG Jester
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jagut x*sin(1/x) ist unendlich weil es so stark oszilliert.
solche fraktalen gebilde sind doch aber fiktiv in der realen welt kann es sowas nicht geben weil spätestens bei der planck länge kann kein weiterer "fraktalarm" dranhängen.