Vollständie Induktion



  • Hallo,

    ich habe eine kleine Frage zur vollst. Induktion. Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich sie verstanden habe. Sagt mir einfach ob ich richtig liege oder komplett daneben:
    - Ich prüfe zuerst mit einem (oder ein paar Werten), ob A für einen Wert stimmt (z.B. n=1). Dann weiß ich, dass A(1) richtig ist
    - ich gehe davon aus, dass A(n) stimmt, also A(n)=w
    jetzt zeige ich mit Hilfe von A(n), dass auch A(n+1) gilt. Dadurch habe ich bewiesen, dass A(n)->(An+1).
    Da ich weiß, dass A(1) stimmt, stimmt auch A(1+1), A(3) usw. Ergo stimmt A(n) für ALLE n in IN.

    Stimmt das so? Oder is das irgendwo ein Schnitzer?



  • Genau so läuft die Sache! 🙂



  • Ich prüfe zuerst mit einem (oder ein paar Werten), ob A für einen Wert stimmt (z.B. n=1)

    du solltest im ersten schritt immer die korrektheit der aussage für das erste element beweisen. also n = 0 oder n = 1, kommt halt drauf an, womit angefangen wird zu zählen.

    es gibt nämlich probleme, die durch vollständige induktion beweisbar wären, wenn man mit n>1 anfängt, die aber für n=1 (bzw n=0) ungültig sind.



  • Die Vollständiege Induktion beginnt nicht immer mit n=0 oder n=1.
    Mann muss nur deutlich machen das die Vollständiege Induktion erst ab einem gewiesen n gilt.



  • Ok, nu hab ich doch noch 2 kleine fragen 😕
    1. kann ich das beweisverfahren auch so zusammenfassen: im induktionsschritt zeige ich, dass WENN A(n) gilt auch A(n+1) gilt. Im Induktionsschritt hab ich die richtigkeit von A(n) jedoch nur vorausgesetzt und nicht bewiesen. da ich aber bewiesen habe, dass A(1) stimmt, kann ich sagen, dass auch A(2) stimmt usw. Stimmt das so?
    2. Fallen euch (den Matheprofis) viele Beweise auch verdammt schwer? Noch schwieriger fällt es mir teilweise, die Beweise von anderen zu verstehen. Geht es euch genauso oder bin ich einfach blöd? 😞

    Danke!



  • smille schrieb:

    Ok, nu hab ich doch noch 2 kleine fragen 😕
    1. kann ich das beweisverfahren auch so zusammenfassen: im induktionsschritt zeige ich, dass WENN A(n) gilt auch A(n+1) gilt. Im Induktionsschritt hab ich die richtigkeit von A(n) jedoch nur vorausgesetzt und nicht bewiesen. da ich aber bewiesen habe, dass A(1) stimmt, kann ich sagen, dass auch A(2) stimmt usw. Stimmt das so?

    Jupp. Bloß wie oben schon gesagt wurde: Man muss nicht zwangsweise mit n=1 anfangen. Wenn ich jetzt eine Aussage A(n) habe, die nur für n >= 7 gilt, dann fange ich mit n = 7 im Indunktionsanfang an. Wenn dann der Induktionsschritt gelingt, habe ich gezeigt: A(n) gilt für alle n >= 7. Über n < 7 habe ich nichts ausgesagt.

    smille schrieb:

    2. Fallen euch (den Matheprofis) viele Beweise auch verdammt schwer? Noch schwieriger fällt es mir teilweise, die Beweise von anderen zu verstehen. Geht es euch genauso oder bin ich einfach blöd? 😞

    Danke!

    Das ist vor allem eine Sache der Übung.



  • Taurin schrieb:

    Wenn ich jetzt eine Aussage A(n) habe, die nur für n >= 7 gilt,

    dann zeigst du A'(n) == A(n-7) wie gehabt 🙂



  • Bashar schrieb:

    dann zeigst du A'(n) == A(n-7) wie gehabt 🙂

    Alles eine Frage der Sichtweise 🙂


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