unendlichdimensionale funktionenräume
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danke. die erklärung leuchtet mir ein!
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Dein Funktionenraum muss nicht mal besonders wild aussehen, damit er unendlich dimensional wird. Nimm dir z.b. den Raum aller stetig diff'barern FUnktionen, und schwups, hast du ziemlich viele Dimensionen in deinem Raum.
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Der Raum der Polynome ist auch unendl. dimensional. Es stimmt zwar, daß sie durch Angabe aller Nullstellen eindeutig bestimmt sind, daher ist auch der Polynomraum aller Polynome bis zum Grad n von endlicher Dimension, aber wenn man alle beliebigen Polynome zuläßt, dann hat man sogar unendliche Dimension.
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ja ich habs nicht so ganz sauber geschrieben natürlich meinte ich den raum aller polynome bis zum grad n lässt man beliebige grade zu brauch man natürlich auch einen unendlichdimensionalen raum da man mit unendlichdimensionalen polynomen auch jede funktion beliebig dicht annähren kann hat man hiermit dann sogar eine basis für jeden anderen unendlich dimensionalen funktionenraum
mfg smurf
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smurf schrieb:
lässt man beliebige grade zu brauch man natürlich auch einen unendlichdimensionalen raum da man mit unendlichdimensionalen polynomen auch jede funktion beliebig dicht annähren kann hat man hiermit dann sogar eine basis für jeden anderen unendlich dimensionalen funktionenraum
Da bin ich mir ehrlich gesagt nicht so sicher. Dann hätte ja jeder Funktionenraum ne abzählbare Basis. Das kann ich mir nicht wirklich vorstellen. Eine Basis muß jedes Element als Linearkombination in der Basis darstellbar machen, nicht nur beliebig nah rankommen. sin(x) ist kein Polynom und läßt sich daher auch nicht als Linearkombination von Polynomen schreiben. Linearkombinationen müssen immer endlich sein, sonst sind sie keine Linearkombinationen mehr.
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IMHO muss man unterscheiden ob man von stetigen Funktionen spricht oder nicht.
Der Raum der stetigen Funktionen C(X,C), wobei X ein kompakter metrischer Raum ist, ist gemäss des Approximationssatzes von Stone und Weierstrasse separabel.
Zudem lassen sich Funktionen aus C(X,C) beliebig genau durch Polynome approximieren, da C[X1,X2, ..., Xn]|X eine Unteralgebra von C(X,C), welche 1 enthält, ist und C[X1,X2, ..., Xn]|X die Punkte von C(X,C) trennt und stabil unter Konjugation ist.
Für beliebige Funktionen und stetigen Funktionen, deren Definitionsbereich nicht kompakt, ist gilt dieser Satz nicht.
@smurf: Ich denke du meinst den topologischen Abschluss des Raums der Polynome. Dieser stimmt tatsächlich mit dem Raum C(X,C) überein (wobei hier X wieder kompakt ist). Allerdings bildet man, wie Jester bereits ausgeführt hat, in der linearen Algebra nur endliche Linearkombinationen. Somit ist der Span beliebiger Polynome nicht identisch zum Raum C(X,C) sondern wiederum nur der Raum der Polynome oder eine Teilmenge davon.
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Wobei eine Approximation und eine Basisdarstellung noch einen leichter Unterschied ist.
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jo - wollt nurma kurz in den Raum werfen:
man definiert ein Skalarprodukt, wie zB. Integral von 0 bis 2*pi f(x)*g(x) dx
*wobei g(x) das konjugiert komplexe von g is in wirklichkeit - egal jetz*Dann sind die Dinger:
[1,x, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x] blub blub ... eine unendliche Basis
*jetzt vielleicht nicht normiert - aber egal*Also die teile sind ne Basis, weil sie PAARWEISE ein Skalarprodukt von 0
haben, was der "Rechtwinkligkeit" bzw. "Orthogonalität" entspricht, womit
sofort einleuchtet, dass die Elemente dieser Basis linear unabhängig sind,
also die Sache auch wirklich ne Basis ist - blob.Siehe Funktionalanalysis oder vielleicht sogar schon vorher inner Linearen Algebra
An dem Punkt sollte man sich die Dimension auch nichtmehr als Bestandteil
des Raumes denken, sondern einfach, als eine vorher noch nicht dagewesene
Richtung
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@mat-hä: Ob jetzt wirklich alle Elemente einer Menge M linear unabhängig sind IMHO sekundär.
Die Frage nach dem Span von M ist meiner Meinung nach wichtiger.
Oder wolltest du nur zeigen das abzählbar unendlich viele Vektoren linear unabhängig sein können?
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ist ein orthogonalsystem, keine hamel basis (also basis im sinne der linearen algebra). der beweis der allgemeinen existenz einer hamel basis verwendet AC, weshalb es in nicht trivialen faellen nicht moeglich sein duerfte, tatsaechlich eine anzugeben. also gibt man sich in der analysis im kontext von funktionenraeumen mit vollstaendigen orthonormalsystemen zufrieden, die meisten sachen aus der linearen algebra uebertragen sich huebsch und anschaulich.