Vektor- und Skalarprodukt
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Hi,
danke erstmal für deine Antwort. Es ist halt so, dass man den Stoff in der Schule nur so an den Kopf geworfen bekommt. Nachhaken schürt dann meist auch nur den Hass der Lehrer
Und dann nochmal zu dem Vektorprodukt(Kreuzprodukt): Vielleicht steh ich grade auf'm Schlauch, aber ich weiß grade nicht wie ich n*v1=0, n*v2=0 für den allgemeinen Fall lösen soll. Wie stell ich den den "Normalenvektor" allgemein dar? *völlig Banane bin*
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Ich nenne die beiden Vektoren jetzt mal v,w. v=(v1,v2,v3) w=(w1,w2,w3).
n = (n1,n2,n3)n*v=0, also v1*n1+v2*n2+v3*n3 = 0
n*w=0, also w1*n1+w2*n2+w3*n3 = 0Das LGS kann man jetzt allgemein lösen. Die Lösung ist halt noch mehrdeutig, weil die Normale nur bis auf Skalierung eindeutig ist. Außerdem muß man zum lösen noch benutzen, daß v und w linear unabhängig sind.
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Da muss ich dir leider ein wenig widersprechen.
Das Skalarprodukt (in euklidischen Vektorräumen - in unitären Vektorräumen (d. h. Vektorräumen über den komplexen Zahlen) sehen die Eigenschaften ein klein wenig anders aus) ist über folgende Eigenschaften definiert:
1. <x,y> ist eine Bilinearform
2. <x,x> > 0 für x ungleich 0, <x,x> = 0 für x=0 (positive Definitheit)
3. <x,y>=<y,x> (Symmetrie)Man kann zeigen, dass dann alle Skalarprodukte sich in der Form
<x, y>=x^T * A * y darstellen lassen (mit der Matrix A positiv definit, x^T heißt x transponiert).
Da man die Basen von x und y orthonormalisieren kann (Stichwort: Gram-Schmidt-Verfahren), existieren Basen (Orthonormalbasen), für die das Skalarprodukt die "kanonische" Form
<x,y>=x^T * y
besitzt.
Reicht dir das so, Matzer?
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wolfgke schrieb:
Da muss ich dir leider ein wenig widersprechen.
Inwiefern widerspricht das? Ich habe sogar noch erwähnt, daß man auch allgemeinere Skalarprodukte betrachten kann.
Nur, was bringt das einem Schüler? Wahrscheinlich kann er insbesondere mit dem Wort Bilinearform garnix anfangen. Also hab ich's gleich gelassen. Es bringt ja nix, hier ne Definition reinzukotzen, wenn der OP damit nichts anfangen kann. Ich denke für seine Belange und Fragestellung war meine Antwort durchaus angemessen. Es ging ja auch nicht darum, *wie* man es definiert, sondern eher *warum* man es so definiert.
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Das Skalarprodukt (in euklidischen Vektorräumen - in unitären Vektorräumen (d. h. Vektorräumen über den komplexen Zahlen) sehen die Eigenschaften ein klein wenig anders aus) ist über folgende Eigenschaften definiert:
1. <x,y> ist eine Bilinearform
2. <x,x> > 0 für x ungleich 0, <x,x> = 0 für x=0 (positive Definitheit)
3. <x,y>=<y,x> (Symmetrie)
Sorry, aber mit den meisten Begriffen kann ich wirklich garnichts anfangen.
Vektorräume habe ich schonmal grob was gehört, weiß aber nicht, was das genau ist. Genauso wie Bilinearform In der Schule sind wir auch erst bis zum Skalarprodukt gekommen. Matrizen und ähnliches kommen erst gegen Ende des Schuljahres...
Da es mehr um das "warum" ging, hat Jester meine Frage ja schon beantwortet.
Und dann nochmal zum Vektorprodukt: Ich hab gestern mit Zettel und Stift am Schreibtisch gesessen und versucht, dieses Gleichungssystem zu lösen. Ich komme aber einfach nicht auf die Lösung. Auch mit Google findet man keine Herleitung des Kreuzproduktes aus dem Skalarprodukt(jedenfalls finde ich mit den Stichworten "Herleitung Kreuzprodukt Skalarprodukt" nur Themen zum Spatprodukt. Sagt mir auch nur wenig ) Hat vielleicht jemand nen Link zu diesem Thema o.ä.?
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Btw.: Könnte man auch ein Vektorprodukt herleiten/oder gibt es ein Vektorprodukt, dass einen 4D-Raum beschreiben würde? Geht mir jetzt nicht um das "wie", sondern ob das an sich geht?
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Matzer schrieb:
Btw.: Könnte man auch ein Vektorprodukt herleiten/oder gibt es ein Vektorprodukt, dass einen 4D-Raum beschreiben würde? Geht mir jetzt nicht um das "wie", sondern ob das an sich geht?
Ja das geht. Funktioniert völlig analog. Allerdings ist es eben in 4D so, daß man 3 linear unabhängig Vektoren angeben muß, und das Vektorprodukt dann einen 4. liefert, der auf allen 3 senkrecht steht. Das ist dann natürlich schon nicht mehr ganz so nützlich, weil eine Verknüpfung mit 3 Parametern sich nicht mehr so gut aufschreiben läßt.
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Das mit Widersprechen war in Bezug auf deinen ersten Beitrag gemeint: man definiert nicht das Skalarprodukt so wie es ist (wie du es geschrieben hast), sondern man definiert die genannten Eigenschaften (und eine Verknüpfung, die diese Eigenschaften hat, nennt man Skalarprodukt) aus denen man dann so Dinge wie die Formel folgern.
Ja, es tut mir leid, das mit widersprechen war verdammt schlecht von mir ausgedrückt. Asche über mein Haupt und auf die Knie zur Buße
Wozu ich jedoch stehe, ist die Sache, dass ich es grundlegend (d. h. die Grundlagen, aus denen man den Rest herleiten kann) erklärt habe: gerade weil Matzer doch den Wunsch äußerte zu wissen, woher es kommt, wollte ich ihm diese Frage auch durchaus lieber beantworten (und habe dabei in Kauf genommen, dass er ggf. zu den Stichworten ggf. googlen muss, was kein Problem sein sollte) als ihn ohne "vollständige" Beantwortung im Regen stehen zu lassen.
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die Frage dabei ist doch: Wer ist "man"? Ich tue das. Du offensichtlich auch. In der Schule definiert man es in der Regel etwas anders. Letztlich kommt doch die Definition der Mathematiker auch auf die Schuldefinition zurück. Die haben sich halt nur angeschaut, was die wesentlichen Eigenschaften ausmacht und das zur Definition erhoben. An der Definition sieht man imho nicht immer gut, woher ein Begriff kommt.
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Ein Verktorraum ist ansich nichts weiter als ein n-dimensionaler Raum. Zum Beispiel eine Gerade wäre 1 dimensional und ein Ebene wäre 2 dimensional. Verallgemeinert kann man sagen, dass es die Menge ist aller möglichen Zustände eines Objektes, das man mit einer festgelegten Zahl von realen Zahlen bestimmem kann. Die Anzahl dieser realen Zahlen legt die Dimension fest.
Das beste Beispiel sind wohl Kordinaten. Wenn du schon mal irgendetwas in Richtung Grafikprogrammirung gemacht hast dann weißt du, dass man das Punkte an Hand von 2 (2D) oder 3 (3D) Zahlen bestimmt. Nun die Menge aller dieser Punkte ist ein Verktorraum.
Die Zahlen wie du sie bisher kennst bilden auch ein Vektorraum und zwar den 1-dimensionalen. In diesem Verktorraum ist das Skalarprodukt die ganz normale Multiplikation.
Das Skalarprodukt ist an sich eine Verallgemeinerung der normalen Multiplikation auf einen n-dimensionalen Vektorraum.
Das Skalarprodukt ist 0 wenn beide Vektoren a und b rechtwinklig sind. In der Ebene heißt das dass sie zueinander stehen wie beide Axen. Du weißt wahrscheinlich, dass i=(1; 0) und j=(0; 1) die beiden Basisvektoren sind. Man kann diese also so drehen kann, dass a = k*i und b = l*j. Man braucht also nicht j um a zu beschreiben, genauso wenig braucht man i um b zu beschreiben.
Du kennst wahrscheilich die Eigenschaft, dass 0*a = 0 ist. Das lässt sich dadurch erklären, dass 0 das einzige Element des 0-dimensionalen Vektorraums ist. a = a*1 und 0 = 0*0. 1 ist der Basisvektor des 1-dimensionalen Raums. Man braucht die 0 nicht um a zu beschreiben und man 1 nicht um die 0 zu beschreiben. Also sind 0 und a rechtwinklig und folglich ist ihr Skalarprodukt 0.
Das Skalarprodukt ist also so definiert, dass es diese Eigenschaft hat.
Am Kreuzprodukt ist für dich in erster Linie die Länge interessant. Mit 2 Vektoren kann man ja bekantlich einen Paralellogram bilden. Die Länge des Kreuzproduktes ist sein Flächeninhalt. Dies kann man allerdings nicht so ohne weiteres auf den n-dimensonalen Raum verallgemeinern. So ist zum Beispiel (a x b)*c der Rauminhalt von einem Parallelipiped.
Wenn das Kreuzprodukt 0 ist dann sind 2 Vektoren parallel. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist immer rechtwinklig zu diesem beiden. Daher auch Jesters Gleichungen
Jesters schrieb:
n*v1=0, n*v2=0
wobei n das Produkt ist. Wenn du jetzt noch die altbekannte Formel x1*y2 - x2*y1 um herauszu finden, dass 2 Vektoren parallel sind sollte es eigentlich schon klingeln. (x1;y1;0)x(x2;y2;0) = (0;0;x1*y2 - x2*y1)
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Ben04: Ein Verktorraum ist ansich nichts weiter als ein n-dimensionaler Raum.
was soll denn das heissen? wie erklaerst du dimension, ohne vorher vekorraum definiert zu haben? ich bin sehr gespannt.
matzer: man muss sich oft damit abfinden, dass begriffe einfach scheinbar willkuerlich definiert sind, weil sie an mehreren stellen vorkommen und weil man dadurch andere dinge eleganter formulieren kann. wie in der programmierung. einer funktionalitaet, die man an mehreren stellen braucht, gibt man einen namen und kann sie in zukunft darueber referenzieren. das vereinfacht einfach das denken und verstehen.
man kann natuerlich immer irgendwelche "begruendungen" liefern, warum definitionen gerade so ein "muessen", wie sie sind, indem man den kontext erweitert, aber dabei muss man eben bei einer groesseren definition anfangen, von der die kleineren dann abfallen. z.b. definiert man den begriff "determinantenform" fuer eine abbildung, die anschaulich das n-dimensionale volumen eines n-dimensionalen spats liefert. man stellt dann fest, dass es nur eine solche gibt, naemlich die bekannte determinante. hieraus laesst sich im dreidimensionalen falle das spat- und kreuzprodukt als spezialfall in der bekannten form herleiten.
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So, danke erstmal für die Antworten. Haben mir auf jeden Fall weitergeholfen. Das Problem ist nur, dass ich bisher noch keinen wirklichen Überblick habe, weil wir das Thema in der Schule noch nicht allzu lange behandelt haben. Und dann wirken die Themen dann doch meist sehr "erschlagend". Besonders dann, wenn man Sachen hinterfragt, merkt man schnell, dass dahinter doch wesentlich mehr steckt, als man vermutet hätte
Und statt sich alles zu merken, versuche ich meist den "kleinsten gemeinsamen Nenner" zu finden, um sich daher den Rest ableiten zu können.Die Zahlen wie du sie bisher kennst bilden auch ein Vektorraum und zwar den 1-dimensionalen. In diesem Verktorraum ist das Skalarprodukt die ganz normale Multiplikation.
Das Skalarprodukt ist an sich eine Verallgemeinerung der normalen Multiplikation auf einen n-dimensionalen Vektorraum.
Finde ich besonders interessant, da ich mir dessen noch nicht bewusst war. Dann müssten demnach die komplexen Zahlen z.B. einen 2-dimensionalen Vektorraum bilden oder? Jedenfalls sind dort Addition und Subtraktion in dem Sinne auch nur Vektoroperationen. Nur an der Multiplikation/Division kann ich bisher keinen Zusammenhang erkennen...
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ignorier mal ben04s beitrag, bis er meine frage beantwortet hat. er erscheint nicht sehr sinnvoll (zumindest der teil, den ich die geduld hatte, durchzulesen).
schon die bezeichnung "bilden DEN eindimensionalen vektorraum" laesst vermuten, dass er sich nicht sehr viel dabei gedacht hat.
es ist nicht sinnvoll, sich das skalarprodukt als verallgemeinerung der koerpermultiplikation zu denken, auch wenn diese im vektorraum R zufaellig zusammenfallen.
C ist ein eindimensionaler vektorraum ueber C, ein zweidimensionaler ueber R, ein unendlichdimensionaler ueber Q. schon wenn du ihn als zweidimensionalen ueber R betrachtest, siehst du, dass skalarprodukt und multiplikation in C nicht dasselbe sind.
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Finde ich besonders interessant, da ich mir dessen noch nicht bewusst war. Dann müssten demnach die komplexen Zahlen z.B. einen 2-dimensionalen Vektorraum bilden oder? Jedenfalls sind dort Addition und Subtraktion in dem Sinne auch nur Vektoroperationen. Nur an der Multiplikation/Division kann ich bisher keinen Zusammenhang erkennen...
Ja, kann man (in gewisser Weise) auch. Die Multiplikation ist hier tatsächlich ganz anders Definiert als im R^2. Sieht man schon daran, dass z1 * z2 wieder eine komplexe Zahl ergibt. Das Skalarprodukt ergibt aber in reelen Vektorräumen immer eine reele Zahl.
Um dich nun völlig zu verwirren: Vektorräume muss man nicht zwangsläufig über den reelen Zahlen betrachten. Man kann z.b. auch Vektorräume betrachten, bei denen die Vektoren in jeder Komponente eine komplexe Zahl stehen haben: den C^n. Und wenn man mag, kann man sich auch Vektorräume ausdenken, die völlig anders aussehen (Man kann z.b. Vektorräume aus Polynomen oder anderen Funktionen bauen).
Wenn du gerade in der Schule mit Vektoren und linearer Algebra anfängst, musst du dir das noch nicht zwangsläufig antun. Aber wie du schon gesgat hast: Es steckt immer noch mehr dahinter. Und dahinter dann nochmal mehr
