Extremwert mit Nebenbedingung

Ingo

Ich möchte in ein gleichschenkliges Dreieck mit g = 12 und h = 10 zwei auf dem Kopf stehende gleichschenklige Dreiecke so einschreiben, dass die Summe der Fläche der beiden eingeschriebenen Dreiecke maximal wird.

Hier findet sich eine Zeichnung dazu: http://www.directupload.net/show/d/681/OJcy5zqx.jpg

Mit Hilfe des Strahlensatzes habe ich die Fläche für die beiden Dreiecke auf zwei Variablen reduzieren können, aber eine Reduktion auf eine Variable hab ich nicht hinbekommen.

Kann es sein, dass das Problem sich nicht wirklich auf eine Variable reduzieren lässt?

Maxi

ich denke, dass problem lässt sich nicht auf eine variable reduzieren, da du zwei relativ unabhänige Dreiecke hast. Du kannst die eine Höhe des 1. Dreiecks frei wählen, die 2. Höhe kannst du dann auch (fast) frei wählen. Von daher, wird das Problem woh. drauf hinauslaufen, eine 2.dimensionale oder 3?-diensionale funktion auf ep zu suchen. Das war hier schonmal im Forum, kannst ja ma danach suchen

Taurin

Ich bekomme als Fläche für die beiden inneren Dreiecke:

$A(h\_1,h\_2) = \frac{g}{2h} \cdot ((h-h\_1)h\_1 + (h-h\_1-h\_2)h_2)$
$= \frac{g}{2h} \cdot (h h\_1 - h\_1^2 + h h\_2 - h\_1 h\_2 - h\_2^2)$

mit $h_1$ Höhe des unteren Dreiecks und $h_2$ höhe des oberen Dreiecks. Aufgrund der Symmetrie der Zielfunktion können wir nun davon ausgehen, dass gelten muss $h\_1 = h\_2$ . Und schwups, haben wir nur noch eine Variable.

Aber überprüft lieber noch mal, ob mein Ausdruck für die Fläche stimmt. Bei sowas verdreh ich immer gern mal irgendwas. Falls ich nen Geometrie-Fehler eingebaut hab und wir immer noch 2 Variablen haben, geht z.b. Lagrange-Multiplikatoren-Regel.

MamboKurt

du kannst ja erst das b ausrechnen, für das das obere dreieck in abhängigkeit vom unteren maximal ist.
dann addiertst fläachen inhalt vom unteren dreick mit flächeninhalt vom oberen maximalen (in abhängigkeit vom unteren) und ermittelst davon das maximum.
da dieser flächeninhalt nur noch von einer variablen abhängt sollte das zu machen sein.

mfG MamboKurt