4. Standardabweichung und Tschebyscheff Erklärung?

Standardabweichung und Tschebyscheff Erklärung?

  • A

    hi
    wir hatten nun in Mathe die Varianz, Standardabweichung und die Ungleichung von Tschebyscheff.
    Von den Formeln und dem rechnerischen her habe ich das auch verstanden, aber ich weiß einfach nicht was die errechneten Werte aussagen.
    Ich weiß dass der Erwartungswert aussagt, dass man auf langfristige Sicht z.B. durchschnittlich 2 Kugeln zieht wenn E(X)=2 ist. Aber was sagt die Standardabweichung aus?
    Und bei der Ungleichung von Tschebyscheff komm ich gar nicht mit zurecht. Ich verstehe einfach nicht was die Werte aussagen. Wenn ich z.B. P(|X-µ|>=c)<= sigma2/c2 stehen habe, komme ich einfach nicht dahinter, was der Wert, den ich errechne, wenn ich in die Formel einsetze, aussagt.
    Vielleicht hat einer von euch ne verständliche Erklärung für mich. Denn wenns bei der Stochastik einmal Klick gemacht hat, dann kann mans einfach. Und wenns net Klick macht kann man einfach nur Formeln auswendig lernen und hoffen dass man richtig einsetzt. Aber ich hoffe es macht bei mir noch Klick.
    Danke!!!

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  • T

    Anschaulich formuliert: Je größer die Varianz, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable weit vom Erwartungswert liegt bzw. dass die gezogenen Werte weit "streuen".

    Das wird auch durch die Ungleichung von Tschebyscheff ausgesagt: P(|X-µ|>=c) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der mindestens um c vom Erwartungswert liegt. Und eben diese Wahrscheinlichkeit ist höchstens σ^2 / c^2 (und das gilt für alle positiven Zahlen c und für alle möglichen Zufallsvariablen X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ)

    Hast du schon mal eine Gaussglocke gesehen? Das Maximum hat sie beim Erwartungswert, die Breite der Glocke bestimmt sich aus der Varianz.

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  • T

    - Erwartungswert ist der Wert, den ein Zufallsexperiment im Mittel hat, wenn man es unendlich oft durchführt.

    - Varianz: Stell Dir vor Du hast ein Zufallsexperiment und kennst den Erwartungswert. Dann hast Du möglicherweise ein Interesse daran, wie sehr die einzelnen Zufallsergebnisse im Mittel (bei unendlicher Wiederholung des Experiments) davon abweichen. Da die Abweichung positiv und negativ sein kann und sich nicht gegenseitig aufheben soll, nimmst Du halt das Quadrat.(Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz, was soviel wie die mittlere betragsmäßige Abweichung ist.)

    - Die Tschebyscheffsche Ungleichung gibt Dir "nur" unter Zuhilfenahme dieser beiden Momente eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Zufallsexperiment um mehr als ein vorgegebener Toleranzwert vom Erwartungswert abweicht.

    Wenn Du es verstanden hast, müsstest Du folgende Frage beantworten können:

    Wird die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zufallsexperiment innerhalb einer kleinen Toleranz um den Mittelwert liegt, groß oder klein, wenn die Varianz groß ist?

    Antwort: klein, denn bei großer Varianz streuen die Werte stark um den Mittelwert und liegen mit großer Wahrscheinlichkeit nicht innerhalb eines kleinen Toleranzgebietes um den Mittelwert. Genau das wird die Tschebyscheffsche Ungleichung Dir bestätigen.

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  • A

    hi
    wir hatten jetzt im mathe lk ne aufgabe, bei der wir einfach nicht weiterkommen.
    und zwar folgendes:
    wir haben ne maschine mit erwartungswert=4,5 und standardabweichung=0,08 . jetzt ist die frage bei welchen toleranz grenzen wir maximal 10% ausschuss haben.
    wie baut man bei einer solchen aufgabe die tschebyscheffsche ungleichung auf?

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  • ?

    Amateur schrieb:

    hi
    wir hatten jetzt im mathe lk ne aufgabe, bei der wir einfach nicht weiterkommen.
    und zwar folgendes:
    wir haben ne maschine mit erwartungswert=4,5 und standardabweichung=0,08 . jetzt ist die frage bei welchen toleranz grenzen wir maximal 10% ausschuss haben.
    wie baut man bei einer solchen aufgabe die tschebyscheffsche ungleichung auf?

    Eine Maschine hat keinen Erwartungswert und keine Varianz, sowas haben nur Zufallsvariablen. Erläuter die Aufgabe mal genauer! Vielleicht kommst dann sogar schon alleine etwas weiter. Hast du schon einen Ansatz für die Aufgabe?

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  • T

    Auch wenn die Aufgabe etwas holprig formuliert ist, haben wir hier eine typische Tschebyscheff-Aufgabe. Daran sieht man, wie praktisch diese Ungleichunge ist, wenn man erstmal Varianz und Erwartungswert hat.

    Im ersten Ansatz würde ich einfach sagen
    p(∣X−μ∣≥c)≤σ2c2≤0,1p(|X - \mu| \geq c) \leq \frac{\sigma^2}{c^2} \leq 0,1
    und dann die rechte Ungleichung nach c auflösen.

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  • A

    ok. hier die genaue Aufgabenstellung (Quelle: Lambacher Schweizer - Stochastik Leistungskurs):

    Bei der automatischen Herstellung von Stahlbolzen wird ein Durchmesser von 4,5mm verlangt, wobei Abweichungen bis 0,2mm zulässig sind. Man sagt: Die Toleranzgrenzen sind 4,3mm bzw. 4,7mm. Eine Überprüfung ergab für den Durchmesser den Mittelwert 4,5mm bei einer Standardabweichung von 0,08mm. Mit welchem Anteil an unbrauchbaren Bolzen muß höchstenfalls gerechnet werden?
    Mit x‾=4,5≈µ und c=0,2 liefert die Ungleichung von Tschebyscheff
    P(|X-4,5|≥0,2)≤(0,08²/0,2²) oder P(|X-4,5|≥0,2)≤0,16
    Es sind also höchstens 16% der Bolzen unbrauchbar.

    Und jetzt die dazugehörige Aufgabe:

    Bei welchen Toleranzgrenzen kann man im Beispiel 3 (das ist das eben geschriebene) davon ausgehen, dass höchstens etwa 10% der Bolzen unbrauchbar sind?

    Also das Beispiel dazu (das oben) hab ich so in etwa verstanden aber bei der Aufgaben kommen wir einfach nicht drauf, wie man die Ungleichheitszeichen setzen muss. Und das größte Problem was wir haben ist einfach wie wir das alles formulieren. Auch die im Beispiel angegebenen Ungleichungen.
    Ihr würdet dem Mathe LK wirklich weiterhelfen wenn ihr uns den Aufbau der Gleichung erklären könntet und wie man das dann formuliert.
    Danke für eure Mühen.

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  • T

    Mal ein Tipp, wie man an so eine Aufgabe ran geht: Erstmal aufschreiben, was man weiß. Die Tschebyschef-Ungleichung hat Turing ja schon mal aufgemalt. Jetzt schaut ihr, welche Werte fest sind und an welchen man "drehen" kann.
    Nach Aufgabe sind die Eigenschaften der Maschine fest. Also auch die Produktionsmerkmale wie Erwartungswert und Varianz. X ist eine stochastische Größe, daran kann man so ohne weiteres aus nix dran drehen. Also bleibt nur noch das c.
    Jetzt wird ein maximaler Ausschuss von 0.1 gefordert.
    Wie muss jetzt das c gewählt werden? (Tipp: Wo wird im Beispiel der Ausschuss abgelesen?)
    Wenn du das c gefunden hast, also setze es in die Ungleichung ein. Was für eine Toleranz ergibt sich jetzt?

    edit: Was meinst du mit "Formulierungsproblemen"? Wie man sowas korrekt aufschreibt? Wenn ihr euch mit der mathematischen Notation unsicher seid, schreibt einfach ausformulierten Text. Das ist 100 mal besser als falsch gesetzte mathematische Symbole. Wenn ich sowas seh, bekomme ich immer Bauchschmerzen... 🙂

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  • A

    mhh genau andersherum ist bei uns das problem: mathematisch bekommen wir das irgendwie hin aber in einen text bekommen wir es nicht...
    der ausschuss ist ja meiner meinung nach das P()... aber das kann nicht stimmen weil dann das ungleichheitszeichen anders herum wäre...
    dies sind die beiden probleme die ich bzw. wir haben. wir wissen nicht wo und wie wir das ganze einsetzen müssen damit die symbole richtig sind.
    bei der lösung von turing frage ich mich auch warum das 0,1 nach rechts kommt und das ungleichheitszeichen so rum steht und nicht anders herum...
    ich weiß wir sind schwierig aber irgendwie ist das alles ziemlich kompliziert... tut mir leid... 😉

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  • T

    Die Formel ist einfach nur das mathematische hinschreiben des Textes...

    (ohne Einheiten)

    - Der Erwartungswert an die Stahlbolzen ist 4,5 und eine Varianz von 0,08

    - Das "Zufallsexperiment" X darf nur um einen zu bestimmenden Wert c von Erwartungswert abweichen, so dass die Wahrscheinlichkeit der Abweichung 10% beträgt, also

    p(∣X−μ∣≥c)≤0,1p(|X - \mu| \geq c) \leq 0,1

    - *klick klack* mit T.-Ungl. können wir eine obere Schranke für die linke Seite finden und fordern nun, dass die rechte Seite der T-Ungl. auch kleiner als 0,1 sein soll. Wir erhalten das bereits geschriebene nochmal

    p(∣X−μ∣≥c)≤σ2c2≤0,1p(|X - \mu| \geq c) \leq \frac{\sigma^2}{c^2} \leq 0,1

    und lösen den rechten Teil nach c auf, wobei wir negative c's ignorieren

    c≥σ0,1≈0,253c \geq \frac{\sigma}{\sqrt{0,1}} \approx 0,253

    Was sagt uns nun dieses Ergebnis?

    - Wenn wir die Bolzen mit einer absoluten Toleranz größer gleich 0,253mm zulassen, können wir uns sicher sein, höchstens 10% Ausschuß zu produzieren.

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