Warum ist die Stammfunktion falsch?
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Hi!
Mich würd ma interessieren, warum das hier nicht geht:
\[z=f(x)\] \[z'=\frac{dz}{dx}=f'(x)\] \[dx=\frac{dz}{f'(x)}\] \\ \[\int f'(x) \cdot f'(x) \; dx=\int f'(x) \cdot f'(x) \; \frac{dz}{f'(x)}=\int f'(x) \; dz=\int z' \;dz=z=\] \[=f(x)\]hab ich da jetz irgendwo nen Fehler drin?
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Ich glaube der Fehler liegt daran, dass du mit Differentialen ganz normal "rumrechnest". Das darf man allerdings im Allgemeinen nicht. Diese "Differentialrechenregeln" sind eher als Gedankenstütze im Kontext ganz spezieller Theoreme gedacht, wie z.B. die Substitutionsregel oder separierbare DGLs.
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Xul schrieb:
Mich würd ma interessieren, warum das hier nicht geht:
[...]
\[\int f'(x) \cdot f'(x) \; dx=\int f'(x) \cdot f'(x) \; \frac{dz}{f'(x)}\]Dieser Schritt dürfte ungültig sein. Plötzlich integrierst du über die Variable z, die aber in f'(x) gar nicht vorkommt.
Mein Tipp (ich bin allerdings kein Physiker): Nimm wo es geht die "korrekten" mathematischen Integrationsregeln und versuch nicht, mit dx, dz und ähnlichem zu rechnen, als wären es Variablen.
Wieso das mit dem Physiker wichtig war? Physiker multiplizieren/dividieren gerne mit diesen "Variablen", auch wenn es mathematisch nicht immer ganz rein ist.
Dass es, wenn man es richtig anstellt, durchaus funktioniert, möchte ich hier nicht in Frage stellen.Ein Physiker würde dir vermutlich eine andere Antwort geben. Vielleicht liegt meine Einstellung auch nur daran, dass ich noch keine Vorlesung über Differentialgleichungen besucht habe.
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Das Problem ist, daß Dein z' die Ableitung nach x bezeichnet. Die geht aber vom Integrieren nach z nicht weg.
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Man hat uns das so in der Schule beigebracht. Ich fands damals auch komisch, dass das dx plötzlich wie eine Variable behandelt wurde, wo doch vorher gesagt wurde, dass es legiglich anzeigen soll, bis wohin das Integral reicht. Da würd mich ja jetzt mal interessieren, wie weit man mit solchen Substitionen gehen kann, bzw. was denn nun zu falschen Ergebnissen führt. Dass man anscheinend ja nicht alles substituieren kann was man will, hab ich ja an meinem Beispiel gesehen.
mfg
dit Xul
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Du kannst schon beliebig substituieren. Nur solltest Du Dir halt merken, was Deine Ableitungen bedeuten. z' ist bei Dir halt Ableitung nach x und nicht nach z.
Da steht also letztlich Integral über dz/dx nach dz. Damit kann man wohl garnix mehr anfangen.
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Mit den Differenzialen Rechnen kann man schon ordentlich formalisieren.
d ist dabei eine Abbildung von einer Algebra in einen Modul, die linear ist und die Leibnizregel erfüllt: d(a*b) = a*d(b) + b*d(a) Hier: (unendlich oft) Differenzierbare Funktionen als R-Algebra, in die unendlich oft differenzierbaren Funktionen (als (unendlich oft diffbare Funktionen)-Modul).
Aus x macht die Abbildung d: dx. Das ist sozusagen das Basiselement. d(x^2) = d(x*x) = x*d(x) + d(x)*x = 2*x*d(x) = 2x dx. Wie man das halt auch so gewohnt ist. Faßt man jetzt dx als Element des Dualraums der Differenziale auf (ich glaub so ging das), dann macht auch der Ausdruck d/dx (x*x) = 2x wieder sinn.
So ungefähr ging das.
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Um Jesters Ausführungen noch einen Namen zu geben: http://de.wikipedia.org/wiki/Pfaffsche_Form
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Zu konkret. :p
Ich hatte eher was in diesem Kontext gemeint: http://de.wikipedia.org/wiki/Derivation_%28Mathematik%29
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Besserwisser!
